X è una variabile normalmente distribuita con media μ = 30 e deviazione standard σ = 4. Trova le probabilità
a) P(X < 40)
b) P(X > 21)
c) P(30 < X < 35)
Un'unità radar viene utilizzata per misurare la velocità delle auto su un'autostrada. Le velocità sono distribuite normalmente con una media di 90 km/ora e una deviazione standard di 10 km/ora. Qual è la probabilità che un'auto scelta a caso viaggi a più di 100 km/h?
Per alcuni tipi di computer, l'intervallo di tempo tra una ricarica e l'altra della batteria è normalmente distribuito con una media di 50 ore e una deviazione standard di 15 ore. John possiede uno di questi computer e desidera conoscere la probabilità che il periodo di tempo sia compreso tra 50 e 70 ore.
L'ingresso in una determinata università è determinato da un test nazionale. I punteggi di questo test sono normalmente distribuiti con una media di 500 e una deviazione standard di 100. Tom vuole essere ammesso a questa università e sa che deve ottenere un punteggio migliore di almeno il 70% degli studenti che hanno sostenuto il test. Tom sostiene il test e ottiene un punteggio di 585. Verrà ammesso a questa università?
La lunghezza di componenti simili prodotti da un'azienda è approssimata da un modello di distribuzione normale con una media di 5 cm e una deviazione standard di 0,02 cm. Se un componente viene scelto a caso
a) qual è la probabilità che la lunghezza di questo componente sia compresa tra 4,98 e 5,02 cm?
b) Qual è la probabilità che la lunghezza di questo componente sia compresa tra 4,96 e 5,04 cm?
La durata della vita di uno strumento prodotto da una macchina ha una distribuzione normale con una media di 12 mesi e una deviazione standard di 2 mesi. Trova la probabilità che uno strumento prodotto da questa macchina duri
a) meno di 7 mesi.
b) tra 7 e 12 mesi.
Il tempo impiegato per assemblare un'auto in un determinato stabilimento è una variabile casuale avente una distribuzione normale di 20 ore e una deviazione standard di 2 ore. Qual è la probabilità che un'auto possa essere assemblata in questo stabilimento in un periodo di tempo
a) meno di 19,5 ore?
b) tra le 20 e le 22 ore?
Un folto gruppo di studenti ha sostenuto un test di Fisica e i voti finali hanno una media di 70 e una deviazione standard di 10. Se possiamo approssimare la distribuzione di questi voti mediante una distribuzione normale, quale percentuale degli studenti
a) ha ottenuto un punteggio superiore a 80?
b) Dovrebbe superare il test (voti≥60)?
c) Dovrebbe fallire il test (voti <60)?
Gli stipendi annuali dei dipendenti di una grande azienda sono distribuiti approssimativamente normalmente con una media di $ 50.000 e una deviazione standard di $ 20.000.
a) Quale percentuale di persone guadagna meno di $ 40.000?
b) Quale percentuale di persone guadagna tra $ 45.000 e $ 65.000?
c) Quale percentuale di persone guadagna più di $ 70.000?
Soluzioni ai problemi di cui sopra
Nota: ciò che si intende qui per area è l'area sotto la curva normale standard.
a) Per x = 40, il valore z z = (40 - 30) / 4 = 2,5
Quindi P(x < 40) = P(z < 2,5) = [area a sinistra di 2,5] = 0,9938
b) Per x = 21, z = (21 - 30) / 4 = -2,25
Quindi P(x > 21) = P(z > -2,25) = [area totale] - [area a sinistra di -2,25]
= 1 - 0,0122 = 0,9878
c) Per x = 30 , z = (30 - 30) / 4 = 0 e per x = 35, z = (35 - 30) / 4 = 1,25
Quindi P(30 < x < 35) = P(0 < z < 1,25) = [area a sinistra di z = 1,25] - [area a sinistra di 0]
= 0,8944 - 0,5 = 0,3944
Sia x la variabile casuale che rappresenta la velocità delle automobili. x ha μ = 90 e σ = 10. Dobbiamo trovare la probabilità che x sia maggiore di 100 o P(x > 100)
Per x = 100 , z = (100 - 90) / 10 = 1
P(x > 90) = P(z > 1) = [area totale] - [area a sinistra di z = 1]
= 1 - 0,8413 = 0,1587
La probabilità che un'auto scelta a caso abbia una velocità superiore a 100 km/h è pari a 0,1587
Sia x la variabile casuale che rappresenta la durata del tempo. Ha una media di 50 e una deviazione standard di 15. Dobbiamo trovare la probabilità che x sia compreso tra 50 e 70 o P( 50< x < 70)
Per x = 50 , z = (50 - 50) / 15 = 0
Per x = 70 , z = (70 - 50) / 15 = 1,33 (arrotondato a 2 cifre decimali)
P( 50< x < 70) = P( 0< z < 1,33) = [area a sinistra di z = 1,33] - [area a sinistra di z = 0]
= 0,9082 - 0,5 = 0,4082
La probabilità che il computer di John abbia una durata compresa tra 50 e 70 ore è pari a 0,4082.
Sia x la variabile casuale che rappresenta i punteggi. x è distribuito normalmente con una media di 500 e una deviazione standard di 100. L'area totale sotto la curva normale rappresenta il numero totale di studenti che hanno sostenuto il test. Se moltiplichiamo i valori delle aree sotto la curva per 100 otteniamo le percentuali.
Per x = 585 , z = (585 - 500) / 100 = 0,85
La proporzione P di studenti che hanno ottenuto un punteggio inferiore a 585 è data da
P = [area a sinistra di z = 0,85] = 0,8023 = 80,23%
Tom ha ottenuto un punteggio migliore dell'80,23% degli studenti che hanno sostenuto il test e sarà ammesso a questa Università.
a) P(4,98 < x < 5,02) = P(-1 < z < 1)
= 0,6826
b) P(4,96 < x < 5,04) = P(-2 < z < 2)
= 0,9544
a) P(x < 7) = P(z < -2,5)
= 0,0062
b) P(7 < x < 12) = P(-2,5 < z < 0)
= 0,4938
a) P(x < 19,5) = P(z < -0,25)
= 0,4013
b) P(20 < x < 22) = P(0 < z < 1)
= 0,3413
a) Per x = 80, z = 1
L'area a destra (superiore a) z = 1 è uguale a 0,1586 = 15,87% ha ottenuto più di 80.
b) Per x = 60, z = -1
L'area a destra di z = -1 è uguale a 0,8413 = 84,13% dovrebbe superare il test.
c) 100% - 84,13% = 15,87% dovrebbe fallire il test.
a) Per x = 40000, z = -0,5
L'area a sinistra (inferiore a) di z = -0,5 è pari a 0,3085 = il 30,85% guadagna meno di $ 40.000.
b) Per x = 45000 , z = -0,25 e per x = 65000, z = 0,75
L'area tra z = -0,25 ez = 0,75 è pari a 0,3720 = 37,20 guadagnando tra $ 45.000 e $ 65.000.
c) Per x = 70000, z = 1
L'area a destra (superiore) di z = 1 è pari a 0,1586 = 15,86% con un guadagno superiore a $ 70.000.
