Definizione di distribuzione normale

\( \) \( \) \( \) \( \)

La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale e le sue proprietà sono presentate a partire da gli istogrammi di probabilità . Un set di dati distribuito normalmente con media \( \mu = 3,5 \) e deviazione standard \( \sigma = 1 \) viene utilizzato per evidenziare il collegamento tra l'istogramma di probabilità dei dati e la funzione di densità normale che porta alla definizione di distribuzione normale .
Grafici delle distribuzioni normali vengono presentati per evidenziare gli effetti della media \( \mu \) e della deviazione standard \( \sigma \) sulla distribuzione normale. Vengono presentate le proprietà delle distribuzioni normali. Viene definita la distribuzione normale standard e vengono utilizzati i passaggi per passare da vengono presentate le distribuzioni normali alla distribuzione normale standard utilizzando lo z-score . Sono inclusi esempi di calcoli delle probabilità delle distribuzioni normali.
Sono inclusi una tabella PDF e un foglio Google per i valori standard dell'area di distribuzione normale ed entrambi possono essere scaricati e utilizzati nei calcoli.

Istogrammi di probabilità della distribuzione dei dati

Nella figura 1, sono mostrati gli istogrammi di probabilità di 3 dati imposta. I dati nell'istogramma A sono più concentrati a sinistra. I dati nell'istogramma B sono più concentrati a destra; e i dati nell'istogramma C sono sparsi.
Istogramma di probabilità di diverse distribuzioni di dati

Figura 1

La Figura 2 mostra un istogramma di probabilità simmetrico i cui dati sono concentrati al centro. La media \( \mu \) e la mediana di questi dati sono molto vicine e approssimativamente uguali a \( 3,5 \).

\( \mu \approx 3,5 \) , mediana \( \approx 3,5 \)

Figura 2

La distribuzione è simmetrica e verrà discussa più dettagliatamente di seguito.

Dati distribuiti normalmente

L'istogramma di probabilità di un set di dati di 2560 valori di dati in un foglio di dati Google file di dati (1) è mostrato di seguito. I dati contenuti in questo file possono essere scaricati e utilizzati per ulteriori esercitazioni.
Di seguito sono riportati i calcoli, eseguiti utilizzando i fogli di Google, della media, della mediana e della deviazione standard di questi dati. Arrotondata al decimo più vicino, la media di questo insieme di dati \( \mu \) è uguale a \( 3,5 \) e la sua deviazione standard stdev è uguale a \( 1 \). Si noti inoltre che la media e la mediana sono molto vicine.

Media, mediana e deviazione standard

Figura 3

Figura 4

Nella figura 5 sotto, abbiamo l'istogramma delle probabilità e il grafico della funzione \( f_{X}(x) \) dato da \[ f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 } \]
Distribuzione normale dei dati

Figura 5

Utilizziamo ora valori numerici per spiegare il collegamento tra l'area sotto i rettangoli che compongono l'istogramma e l'area tra la curva della funzione \( f_X(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 }\) e l'asse x.

Sia \( P( 3 \le X \le 5) \) la probabilità che un valore di dati \( X \), selezionato casualmente dall'insieme di dati, sia maggiore o uguale a \( 3 \) e minore o uguale a uguale a \( 5 \). Secondo le classi [3-4] e [4-5] e le loro corrispondenti probabilità nella Figura 4, abbiamo
\( \qquad P( 3 \le X \le 5) \approx 0,377+0,229 = 0,606 \qquad (A) \)

Ora utilizziamo la funzione di densità di probabilità \( f_{X}(x) \). L'area tra la curva di \( f_{X}(x) \), l'asse x e \( x = 3 \) e \( x = 5 \) è data da:
\( \displaystyle \qquad P( 3 \le X \le 5) = \int_3^5 \; f_{X} (x) \; dx \)

Sostituisci \( f_{X}(x) \) con \( \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5) ^2} \)
\( \displaystyle \qquad P( 3 \le X \le 5) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \int_3^5 \; \; e^{-\frac{1} {2} (x-3,5)^2 } \; dx \)
Usa una calcolatrice per ottenere
\( \displaystyle \qquad P( 3 \le X \le 5) \approx 0,62465 \qquad (B) \)

Confrontando i risultati delle probabilità in \( (A) \) e \( (B) \) trovati sopra, concludiamo che è possibile definire \( f_{X}(x) \) come la funzione di densità di probabilità il cui l'area può essere utilizzata per determinare le probabilità.

Funzione \[ f_X(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 }\] è definita come una distribuzione normale con media \( \mu = 3,5 \) e deviazione standard \( \sigma = 1 \)

Di seguito generalizzeremo la definizione di distribuzione normale e le sue proprietà.

Funzione di densità di probabilità di una distribuzione normale

La funzione di densità di probabilità di una distribuzione normale con media \( \mu \) e deviazione standard \( \sigma \) è definita da \[ \boxed {\displaystyle f_X(x) = \dfrac{1}{ \sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } } \] dove \( X \) è la variabile casuale normalmente distribuita.

Grafici della funzione di densità di una distribuzione normale

Nella figura 6 seguente, sono mostrate le normali funzioni di densità di probabilità con la stessa deviazione standard \( \sigma = 2 \) e medie diverse.

Distribuzioni normali con Mezzi diversi

Figura 6

Nella figura 7 seguente, sono mostrate le normali funzioni di densità di probabilità con la stessa media \( \mu = 4 \) e diverse deviazioni standard \( \sigma \).

Distribuzioni normali con Deviazione standard diversa

Distribuzioni normali con Deviazione standard diversa

Figura 7

Da quanto sopra, la media \( \mu \) indica lo spostamento orizzontale di \( f_X(x) \) e \( \sigma \) indica come i dati sono raggruppati attorno alla media. Per dati altamente concentrati, attorno alla media, \( \sigma \) è piccolo.

Proprietà delle distribuzioni normali

1-La distribuzione normale è centrata attorno alla media; ciò è chiaramente mostrato nelle figure 6 e 7.
2 - La media e la mediana di una distribuzione normale sono molto vicine (uguali in teoria).
3 - L'area totale sotto la curva di una distribuzione normale è pari a \( 1 \). \[ \displaystyle \dfrac{1}{ \sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{\infty} \; e^{-\frac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } dx = 1 \] 4 - La distribuzione dei dati è la seguente
a) Approssimativamente il \( 68\% \) dei dati rientra in 1 deviazione standard dalla media. \[ \displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int _{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\:e^{-0.5\left(\frac{ x-mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0,68268\]

Area entro la media Più o meno una deviazione standard

Figura 8

b) Approssimativamente, il \( 95\% \) dei dati si trova entro 2 deviazioni standard dalla media. \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\: \int _{\mu-2\sigma}^{\mu+2\sigma}\:e^{-0.5\left(\frac{x-mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0.95449 \]

Area entro la media Più o meno due deviazioni standard

Area entro la media Più o meno due deviazioni standard

Figura 9

c) Approssimativamente, il \( 99\% \) dei dati si trova entro 3 deviazioni standard dalla media. \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\: \int _{\mu-3\sigma}^{\mu+3\sigma}\:e^{-0.5\left(\frac{x-mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0.99730 \]

Area entro la media Più o meno tre deviazioni standard

Area entro la media Più o meno tre deviazioni standard

Figura 10

Distribuzione normale standard e sua probabilità cumulativa

La distribuzione normale con media \( \mu = 0 \) e deviazione standard \( \sigma = 1 \) è chiamata distribuzione normale standard e la sua funzione di densità di probabilità è data da \[ f_X(x) = \dfrac{1}{ \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} x^2 } \] La distribuzione di probabilità cumulativa della distribuzione normale standard è definita da \[ \displaystyle F_{X} (x) = \dfrac{1}{ \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\frac{1}{2} t^2} \; dt\] e viene utilizzato per trovare le probabilità del modulo \[ P( X \le a) = F_{X} (a) \] Cumulativo Probabilità di distribuzione normale standard

Figura 11

Quindi \( P( X \le a) \) è dato dall'area compresa tra l'asse x, la curva della distribuzione normale standard e \( x = a \)
L'integrale che definisce la probabilità cumulativa della distribuzione normale standard non è fornito in forma chiusa e pertanto può essere eseguito utilizzando un calcolatore di probabilità normale o tabelle e possono essere scaricato per uso personale. come nei fogli Google mostrati di seguito.

La probabilità cumulativa può anche essere calcolata utilizzando i fogli Google e la funzione "=NORM.S.DIST(a)" come mostrato di seguito.
Probabilità cumulativa della distribuzione normale standard in Fogli Google

Figura 12

Dalla distribuzione normale alla distribuzione normale standard

La distribuzione normale della media \( \mu \) e della deviazione standard \( \sigma \) è data da \[ \displaystyle f_{X}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\:e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \] La probabilità \( P( X \le a) \) è data dall'area compresa tra l'asse x, la curva della distribuzione normale e \( x = a \) ed è data da \[ \displaystyle P( X \le a) = F_{X} (a) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{a } \; e^{- \frac{1}{2} \left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)^2} \; dt\] Usiamo la sostituzione nell'integrale \( z = \frac{t - \mu}{\sigma} \) che dà \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma} \) e sostituisce nell'integrale sopra \[ \displaystyle P( X \le a) = F_{X} (a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{\frac{ a - \mu}{\sigma}} \; e^{- \frac{1}{2} z^2} \; dz \] Ci occupiamo ora dell'integrale della distribuzione normale standard e del punteggio z dato da. \[ z = \frac{a - \mu}{\sigma} \]
Il risultato sopra ci dice che è necessario conoscere solo l'integrale della distribuzione normale standard per calcolare qualsiasi probabilità relativa a qualsiasi distribuzione normale e cioè utilizzando il punteggio z definito sopra.
L'integrale \[ \frac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{z_0} \; e^{- \frac{1}{2} z^2} \; dz\] può essere calcolato utilizzando i fogli Google che possono essere scaricati per uso personale. ed è dato anche sotto forma di La Tabella della distribuzione normale in pdf può essere scaricato e utilizzato.

Esempi di probabilità relative alle distribuzioni normali

Esempio 1
Una variabile casuale \( X \) è normalmente distribuita con una media \( \mu = 2.2 \) e una deviazione standard \( \sigma = 2.5 \). Trova la probabilità
a) \( \qquad P( X \le 1.2) \)
Soluzione dell'esempio 1

In questo esempio abbiamo \( \mu = 2.2 \) e \( \sigma = 2.5 \), quindi lo z-score definito sopra è dato da \[ z = \frac{1,2 - 2,2}{2,5} \approx -0,4 \] Diversi modi per calcolare l'integrale
a) Utilizzando una calcolatrice, la probabilità è data da \[ P( X \le 1.2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{-0.4} \; e^{- \frac{1}{2} z^2} \; dz \approx 0,34457 \] b) Utilizzare una tabella dei valori della probabilità di una distribuzione normale standard che può essere
scaricato per uso personale.
Tabella degli standard Distribuzione normale

Figura 13

NOTA a Tabella della distribuzione normale in pdf può essere scaricato e utilizzato.

Esempio 2
Una variabile casuale \( X \) è normalmente distribuita con una media \( \mu = -2.5 \) e una deviazione standard \( \sigma = 2 \). Trova le seguenti probabilità
a) \( \qquad P( 0.5 \le X \le 3.1) \)
b) \( \qquad P( X \ge 0.8) \)
Soluzione dell'esempio 2
a)
\( P( 0.5 \le X \le 3.1) \) è l'area compresa tra l'asse x, la curva della media della distribuzione normale \( \mu = -2.5 \) e una deviazione standard \( \sigma = 2 \) e \( x = 0,5 \) e \( x = 3,1 \)
Quindi
\( P( 0,5 \le X \le 3,1) = P( X \le 3,1) - P( X \le 0,5) \)

Sia \( z_1 = \dfrac{0,5 - (-2,5)}{2} = 1,5 \) e \( z_2 = \dfrac{3,1 - (-2,5)}{2} = 2,8 \)

Scriviamo le probabilità utilizzando lo z-score e utilizziamo la tabella Tabella della distribuzione normale per ottenere:
\( P( X \le 3.1) = P( Z_1 \le 2.8) = 0,9974448697 \)
\( P( X \le 0,5) = P( Z_2 \le 1,5) = 0,9331927987 \)
\( P( 0,5 \le X \le 3,1) = 0,9974448697 - 0,9331927987 = 0,064252071 \)

NOTA che puoi anche utilizzare il calcolatore della probabilità normale per verificare la risposta.
b)
\( P( X \ge 0,8) = 1 - P( X \le 0,8) \)
Sia \( z_3 = \dfrac{0,8 - (-2,5)}{2} = 1,65 \)

Scriviamo le probabilità utilizzando lo z-score e utilizziamo la tabella Tabella della distribuzione normale per ottenere:
\( P( X \le 0,8) = P( Z_3 \le 1,65) = 0,950528532 \)
\( P( X \ge 0,8) = 1 - 0,950528532 = 0,049471468 \)

NOTA che puoi anche utilizzare il calcolatore della probabilità normale per verificare la risposta.
Altri problemi di distribuzione normale con soluzioni sono inclusi in questo sito.