미적분학의 연쇄 법칙 (합성함수 미분법)

예제 1

다음 함수가 주어졌을 때 도함수 \( f'(x) \)를 구하세요:

\[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]

예제 1 풀이:

\( u = 5x - 2 \) 및 \( f(u) = 4 \cos u \)라 하면 다음과 같습니다:

\[ \dfrac{du}{dx} = 5 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = -4 \sin u \]

이제 연쇄 법칙을 사용합니다:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = -4 \sin(u) \cdot 5 \]

식에 \( u = 5x - 2 \)를 다시 대입합니다:

\[ f'(x) = -20 \sin (5x - 2) \]

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예제 2

다음 함수가 주어졌을 때 도함수 \( f'(x) \)를 구하세요:

\[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]

예제 2 풀이:

\( u = x^3 - 4x + 5 \) 및 \( f(u) = u^4 \)라 하면 다음을 얻습니다:

\[ \dfrac{du}{dx} = 3x^2 - 4 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = 4u^3 \]

연쇄 법칙의 활용:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = (4u^3)(3x^2 - 4) \]

\( u = x^3 - 4x + 5 \)를 다시 대입합니다:

\[ f'(x) = 4(x^3 - 4x + 5)^3 (3x^2 - 4) \]

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예제 3

다음이 주어졌을 때 \( f'(x) \)를 구하세요:

\[ f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 1} \]

예제 3 풀이:

\( u = x^2 + 2x - 1 \) 및 \( f(u) = \sqrt{u} \) 라 하면 다음을 얻습니다:} (수식 표기 정정: \( f(u) = \sqrt{u} \)

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \]

연쇄 법칙을 사용합니다:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} (2x + 2) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

분자와 분모를 2로 나누어 약분하고 간소화합니다:

\[ f'(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

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예제 4

다음이 주어졌을 때 \( f \)의 1계 도함수를 구하세요:

\[ f(x) = \sin^2 (2x + 3) \]

예제 4 풀이:

\( u = \sin (2x + 3) \) 및 \( f(u) = u^2 \)라 하면 다음을 얻습니다:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = 2u \]

연쇄 법칙을 적용하면 다음과 같습니다:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2u \cdot 2 \cos(2x + 3) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \]

삼각함수 공식 \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)를 이용하여 간소화합니다:

\[ f'(x) = 2 \sin (4x + 6) \]

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예제 5

다음이 주어졌을 때 \( f \)의 1계 도함수를 구하세요:

\[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]

예제 5 풀이:

\( u = x^2 + x \) 및 \( f(u) = \ln u \)라 하면 다음과 같습니다:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \quad \text{and} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \]

연쇄 법칙을 사용하고 \( u = x^2 + x \)를 다시 대입합니다:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2x + 1) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x} \]

연쇄 법칙을 사용하여 각 함수의 1계 도함수를 구하세요:

1. \( f(x) = \cos (3x - 3) \)
2. \( l(x) = (3x^2 - 3x + 8)^4 \)
3. \( m(x) = \sin \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
4. \( t(x) = \sqrt{3x^2 - 3x + 6} \)
5. \( r(x) = \sin^2 (4x + 20) \)

위 연습 문제 정답

1. \( f'(x) = -3 \sin (3x - 3) \)
2. \( l'(x) = 12(2x - 1)(3x^2 - 3x + 8)^3 \) (참고: \(4(3x^2-3x+8)^3(6x-3)\)에서 \(12(2x-1)\)로 인수분해됨)
3. \( m'(x) = -\dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
4. \( t'(x) = \dfrac{6x - 3}{2\sqrt{3x^2 - 3x + 6}} \)
5. \( r'(x) = 8\sin(4x+20)\cos(4x+20) = 4\sin(8x+40) \)