모든 단계를 거쳐 \( y = u^v \)의 1계 도함수를 구합니다.
\( u^v \)의 도함수
참고로, 일반적으로 \( u \)와 \( v \)가 함수인 \( y = u^v \) 형태의 함수는 멱함수(\( x^k \))도 아니고 지수함수(\( b^x \))도 아니므로, 일반적인 미분법 공식들을 직접 적용할 수 없습니다. 여기서는 도함수가 존재하는 함수 \( u \)와 \( v \)에 대해 \( y = u^v \) 형태의 함수의 1계 도함수를 구하는 방법을 제안합니다.
주어진 식:
\[ y = u^v \]양변에 자연로그(\( \ln \))를 취합니다:
\[ \ln y = \ln (u^v) \]우변에 로그 함수의 성질 \( \ln(u^v) = v \ln u \)를 적용합니다:
\[ \ln y = v \ln u \]연쇄 법칙과 곱의 미분법을 사용하여 양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]양변에 \( y \)를 곱합니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]최종 답변 공식을 얻기 위해 \( y \)를 다시 \( u^v \)로 대입합니다:
\( u^v \)에 대한 도함수 공식:
\[ \dfrac{dy}{dx} = u^v \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]
연습 문제 및 정답
연습 문제 및 풀이
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
- \( y = (x+3)^{x - 2} \)
- \( y = (x^2+2)^{\ln x + 1} \)
위 연습 문제 정답:
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x+3)^{x - 2} \left( \ln (x+3) + \dfrac{x - 2}{x+3} \right) \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x^2+2)^{\ln x + 1} \left( \dfrac{1}{x} \ln (x^2+2) + (\ln x + 1) \dfrac{2x}{x^2+2} \right) \)