\( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \)의 1계 도함수를 구하고 \( x \in \mathbb{R} \)에 대해 \( f \)와 \( f' \)의 그래프를 그리는 방법에 대한 튜토리얼입니다.
\( \sin(x) \)와 \( \arcsin(\sin(x)) \)의 그래프
\( f \)의 정의역이 \( \mathbb{R} \)이고 \( \sin(x) \)가 주기함수이므로, \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) 역시 주기함수입니다.
\( x \)가 \( 0 \)에서 \( \frac{\pi}{2} \)까지 증가할 때, \( \sin(x) \)는 \( 0 \)에서 \( 1 \)까지 증가하고 \( \arcsin(\sin(x)) \)는 \( 0 \)에서 \( \frac{\pi}{2} \)까지 증가합니다. 실제로 \( x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)일 때 \( \arcsin(\sin(x)) = x \)입니다. \( x \)가 \( \frac{\pi}{2} \)에서 \( \frac{3\pi}{2} \)까지 증가할 때, \( \sin(x) \)는 \( 1 \)에서 \( -1 \)까지 감소하고 \( \arcsin(\sin(x)) \)는 \( \frac{\pi}{2} \)에서 \( -\frac{\pi}{2} \)까지 감소합니다. \( x \)가 \( \frac{3\pi}{2} \)에서 \( 2\pi \)까지 증가할 때, \( \sin(x) \)는 \( -1 \)에서 \( 0 \)까지 증가하고 \( \arcsin(\sin(x)) \)는 \( -\frac{\pi}{2} \)에서 \( 0 \)까지 증가합니다.
\( \sin(x) \)의 주기가 \( 2\pi \)이므로, \( \arcsin(\sin(x)) \)의 주기 역시 \( 2\pi \)입니다. 아래 그래프는 \( 0 \)부터 \( 2\pi \)까지의 \( \arcsin(\sin(x)) \)와 \( \sin(x) \)의 그래프를 보여줍니다.
아래 그래프는 3주기 동안의 \( \arcsin(\sin(x)) \)와 \( \sin(x) \)의 그래프를 보여줍니다.
\( f \)의 정의역: \( (-\infty, +\infty) \)
\( f \)의 치역: \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)
\( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \)의 도함수 및 그 그래프
\( f(x) \)는 합성함수이며, 도함수는 다음과 같이 연쇄 법칙을 사용하여 계산됩니다: \( u = \sin(x) \)라 합니다.
따라서 \( f(x) = \arcsin(u(x)) \)가 됩니다.
미분의 연쇄 법칙을 적용합니다:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \cos(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \]\( u = \sin(x) \)를 대입합니다:
\[ f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \]간소화합니다:
아래 그림은 빨간색으로 \( \arcsin(\sin(x)) \)를, 파란색으로 그 도함수를 나타낸 것입니다. \( \cos(x) = 0 \)인 \( x \) 값, 즉 정수 \( k \)에 대해 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)인 곳에서는 도함수가 정의되지 않음을 주목하세요. 이와 같은 \( x \) 값에서 \( \arcsin(\sin(x)) \)는 \( \frac{\pi}{2} \)와 같은 최댓값을 가지거나 \( -\frac{\pi}{2} \)와 같은 최솟값을 가집니다.
\( \arcsin(\sin(x)) \)는 모든 \( x \) 값에 대해 연속이지만, 그 도함수는 특정 \( x \) 값에서 정의되지 않습니다.
