\( f(x) = \arctan(\tan(x)) \)의 1계 도함수를 구하고 자연 정의역에서 \( f \)와 \( f' \)의 그래프를 그리는 방법에 대한 미적분학 튜토리얼입니다.
\( \tan(x) \)와 \( \arctan(\tan(x)) \)의 그래프
\( f(x) \)는 \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \) (여기서 \( k \)는 정수)를 제외한 모든 실수 \( x \in \mathbb{R} \)에서 정의됩니다.
\( \tan(x) \)가 주기함수이므로, \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) 역시 주기함수입니다.
\( x \)가 \( -\frac{\pi}{2} \)에서 \( \frac{\pi}{2} \) (포함하지 않음)까지 증가할 때, \( \tan(x) \)는 아주 작은 값(\(-\infty\))에서 아주 큰 값(\(+\infty\))으로 증가하고, \( \arctan(\tan(x)) \)는 \( -\frac{\pi}{2} \)에서 \( \frac{\pi}{2} \) (포함하지 않음)까지 증가합니다. 왜냐하면 \( \tan(x) \)는 \( -\frac{\pi}{2} \)와 \( \frac{\pi}{2} \)에서 정의되지 않기 때문입니다. 실제로 \( x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)일 때 \( \arctan(\tan(x)) = x \)입니다.
\( \tan(x) \)의 주기가 \( \pi \)이므로, \( \arctan(\tan(x)) \)의 주기 역시 \( \pi \)입니다. 아래 그래프는 \( -\frac{\pi}{2} \)부터 \( \frac{3\pi}{2} \)까지의 \( \arctan(\tan(x)) \)와 \( \tan(x) \)의 그래프를 보여줍니다.
\( f \)의 정의역: \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
\( f \)의 치역: \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
아래 그래프는 3주기 동안의 \( \arctan(\tan(x)) \)의 그래프를 보여줍니다.
\( f(x) = \arctan(\tan(x)) \)의 도함수 및 그 그래프
\( f(x) \)는 합성함수이며, 도함수는 다음과 같이 연쇄 법칙을 사용하여 계산됩니다:
\( u = \tan(x) \)라 하면, \( f(x) = \arctan(u(x)) \)가 됩니다.
미분의 연쇄 법칙을 적용합니다:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{u^2 + 1} \]\( u = \tan(x) \)를 대입합니다:
\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \]\( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \)이므로:
아래 그림은 빨간색으로 \( \arctan(\tan(x)) \)를, 파란색으로 그 도함수를 나타낸 것입니다. \( \cos(x) = 0 \)인 \( x \) 값, 즉 정수 \( k \)에 대해 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)인 곳에서는 도함수가 정의되지 않음을 주목하세요. 또한 \( f(x) \) 자체도 이 지점들에서는 정의되지 않습니다.
