1계 도함수의 정의
도함수의 정의를 사용하여 함수를 미분합니다. 이 튜토리얼은 차분 몫과 함께 사용할 때 가장 잘 이해할 수 있습니다.
함수 \( f \)의 도함수 \( f' \)은 다음과 같이 정의됩니다:
이 극한이 존재할 때 성립합니다. 따라서 정의로부터 도함수를 구하려면 \( h \)가 0에 가까워질 때 차분 몫의 극한을 구해야 합니다.
상세한 풀이가 포함된 예제
예제 1
도함수의 정의를 사용하여 다음으로 정의된 함수 \( f \)의 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = mx + b \]여기서 \( m \)과 \( b \)는 상수입니다.
예제 1 풀이
먼저 차분 몫을 계산해야 합니다:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h) + b - (mx + b)}{h} \]간소화합니다:
\[ = \dfrac{mh}{h} = m \]도함수 \( f' \)은 \( h \to 0 \)일 때 \( m \)(상수)의 극한으로 주어집니다. 따라서:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} m = m \]일차함수 \( f(x) = mx + b \)의 도함수는 그 그래프인 직선의 기울기 \( m \)과 같습니다.
예제 2
정의를 사용하여 다음의 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]예제 2 풀이
먼저 차분 몫을 구합니다:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]분자의 식을 전개하고 동류항을 묶습니다:
\[ = \dfrac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]간소화합니다:
\[ = \dfrac{2axh + bh + ah^2}{h} = 2ax + b + ah \]\( f(x) = ax^2 + bx + c \)의 도함수는 차분 몫의 극한으로 주어집니다. 따라서:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} (2ax + b + ah) = 2ax + b \]예제 3
정의를 사용하여 다음으로 주어진 함수 \( f \)의 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = \sin x \]예제 3 풀이
먼저 차분 몫을 계산합니다:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]분자에 있는 차 \( \sin(x + h) - \sin x \)를 곱으로 변환하기 위해 삼각함수 공식을 사용합니다:
\[ \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \]위의 차분 몫을 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]도함수는 차분 몫의 극한으로 주어집니다. 따라서:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]두 함수의 곱의 극한에 대한 정리를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]위 곱의 극한은 각각 다음과 같습니다:
\[ \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) = \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = \cos x \]그리고
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(t)}{t} = 1 \]따라서 \( f(x) = \sin x \)의 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = \cos x \times 1 = \cos x \]예제 4
정의를 사용하여 미분하세요:
\[ f(x) = \sqrt{x} \]예제 4 풀이
차분 몫은 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \]분자와 분모에 \( \sqrt{x+h} + \sqrt{x } \)를 곱하고, 전개한 뒤 동류항을 묶어 간소화합니다:} (수식 표기 정정: \( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \))
\[ = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \dfrac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{(\sqrt{x+h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \] \[ = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]\( f(x) = \sqrt{x} \)의 도함수는 차분 몫의 극한으로 주어집니다. 따라서:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]예제 5
정의를 사용하여 미분하세요:
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]예제 5 풀이
차분 몫은 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \]분자에 있는 두 유리식의 분모를 통일하고 다시 씁니다:
\[ = \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \] \[ = \dfrac{-h}{x(x+h)h} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \]\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)의 도함수는 차분 몫의 극한으로 주어집니다. 따라서:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2} \]