미적분학에서의 삼각함수 sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)의 도함수 공식을 삼각함수의 곱, 합, 몫을 포함한 여러 예제와 함께 소개합니다.
삼각함수의 도함수 공식
삼각함수의 도함수를 이용한 예제
예제 1
\( f(x) = x \sin x \)의 1계 도함수를 구하세요
예제 1 풀이
\( g(x) = x \) 및 \( h(x) = \sin x \)라 합시다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 곱으로 볼 수 있습니다: \( f(x) = g(x)h(x) \). 따라서 곱의 미분법 \( f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \)를 사용하여 다음과 같이 함수 \( f \)를 미분합니다:
\[ f'(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]예제 2
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = \tan x + \sec x \]예제 2 풀이
\( g(x) = \tan x \) 및 \( h(x) = \sec x \)라 합시다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 합으로 볼 수 있습니다: \( f(x) = g(x) + h(x) \). 따라서 합의 미분법 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)를 사용하여 다음과 같이 함수 \( f \)를 미분합니다:
\[ f'(x) = \sec^2 x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]예제 3
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \]예제 3 풀이
\( g(x) = \sin x \) 및 \( h(x) = 1 + \cos x \)라 합시다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 몫으로 볼 수 있습니다: \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). 따라서 몫의 미분법을 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]각각의 도함수를 구합니다:
\[ g'(x) = \cos x \] \[ h'(x) = -\sin x \]몫의 미분법 공식에 대입합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \] \[ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} \]삼각함수 공식 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)을 사용하여 간소화합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]