임의의 밑을 가지는 지수함수의 도함수
\( f(x) = b^{x} \)의 도함수는 다음과 같습니다:
일반적인 지수함수 도함수 공식:
\[ f'(x) = b^{x} \ln b \]
참고: \( f(x) = e^{x} \)인 경우, \( f'(x) = e^{x} \)입니다.
풀이 예제
예제 1
\( f(x) = 2^{x} \)의 도함수를 구하세요.
예제 1 풀이
위의 공식을 적용하면 다음을 얻습니다:
\[ f'(x) = 2^{x} \ln 2 \]예제 2
\( f(x) = 3^{x} + 3x^{2} \)의 도함수를 구하세요.
예제 2 풀이
\( g(x) = 3^{x} \) 및 \( h(x) = 3x^{2} \)라 합니다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 합입니다: \( f(x) = g(x) + h(x) \).
합의 미분법 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)을 사용하여 함수 \( f \)의 도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = 3^{x} \ln 3 + 6x \]예제 3
\( f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + x} \)의 도함수를 구하세요.
예제 3 풀이
\( g(x) = e^{x} \) 및 \( h(x) = 1 + x \)라 합니다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 몫입니다: \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). 따라서 몫의 미분법을 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]각각의 도함수를 구합니다:
\[ g'(x) = e^{x} \] \[ h'(x) = 1 \]몫의 미분법 공식에 대입합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{(1 + x)(e^{x}) - (e^{x})(1)}{(1 + x)^{2}} \] \[ = \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \]예제 4
\( f(x) = e^{2x + 1} \)의 도함수를 구하세요.
예제 4 풀이
\( u = 2x + 1 \) 및 \( y = e^{u} \)라 합니다. 연쇄 법칙을 사용하여 함수 \( f \)의 도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]\( \dfrac{dy}{du} = e^{u} \)이고 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \)이므로:
\[ f'(x) = 2e^{2x + 1} \]연습 문제
각 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = e^{x} 2^{x} \)
- \( g(x) = 3^{x} - 3x^{3} \)
- \( h(x) = \dfrac{e^{x}}{2x - 3} \)
- \( j(x) = e^{(x^{2} + 2)} \)
위 연습 문제 정답
- \( f'(x) = e^{x} 2^{x} (\ln 2 + 1) \)
- \( g'(x) = 3^{x} \ln 3 - 9x^{2} \)
- \( h'(x) = \dfrac{e^{x}(2x - 5)}{(2x - 3)^{2}} \)
- \( j'(x) = 2x e^{(x^{2} + 2)} \)