미적분학에서의 로그 미분법은 로그함수의 성질을 이용하여 복잡한 함수나 일반적인 미분 공식이 직접 적용되지 않는 함수를 미분하는 기법입니다. 상세한 풀이가 포함된 여러 예제가 제시됩니다.
상세한 풀이가 포함된 예제
예제 1
다음 함수의 도함수를 구하세요:
\[ y = x^{\sin x} \]예제 1 풀이
이 함수를 직접 미분할 수 있는 표준 공식은 없다는 점을 먼저 알 수 있습니다. 1계 도함수는 \( y = x^{\sin x} \)의 양변에 자연로그를 취하여 구할 수 있습니다:
\[ \ln y = \ln \left( x^{\sin x} \right) \]로그의 성질을 이용하여 우변을 다시 씁니다:
\[ \ln y = \sin x \ln x \]이제 좌변에는 연쇄 법칙을, 우변에는 곱의 미분법을 사용하여 양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]양변에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]\( y = x^{\sin x} \)를 대입합니다:
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x} \]예제 2
다음으로 정의된 함수 \( y \)의 도함수 \( y' \)를 구하세요:
\[ y = x e^{-x^2} \]예제 2 풀이
양변에 자연로그를 취합니다:
\[ \ln y = \ln x + \ln e^{-x^2} \]\( \ln e^{-x^2} \) 항을 간소화합니다:
\[ \ln y = \ln x - x^2 \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]모든 항에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]\( y = x e^{-x^2} \)를 대입합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{-x^2} \]간소화합니다:
\[ y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} \]예제 3
다음으로 주어진 함수 \( y \)의 도함수 \( y' \)를 구하세요:
\[ y = 3x^2 e^{-x} \]예제 3 풀이
양변에 자연로그를 취합니다:
\[ \ln y = \ln 3 + \ln(x^2) + \ln e^{-x} \]항들을 간소화합니다:
\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]모든 항에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]\( y = 3x^2 e^{-x} \)를 대입합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3x^2 e^{-x} \]다음과 같이 정리합니다:
\[ y' = 3x(2 - x) e^{-x} \]참고: 연습 삼아 일반적인 곱의 미분법을 사용하여 위 함수를 직접 미분하고 결과를 비교해 보세요.
예제 4
다음으로 주어진 함수 \( y \)의 도함수 \( y' \)를 구하세요:
\[ y = (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]예제 4 풀이
양변에 자연로그를 취하고 식을 전개합니다:
\[ \ln y = 2 \ln(1 - x) + 4 \ln(x + 1) \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]모든 항에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]간소화합니다:
\[ y' = -2(1 - x)(x + 1)^3 + 4(x + 1)^3(1 - x)^2 \]참고: 원래 함수를 일반적인 곱의 미분법과 연쇄 법칙으로 직접 미분하여 결과를 확인해 보세요.
예제 5
다음으로 정의된 함수 \( y \)의 도함수 \( y' \)를 구하세요:
\[ y = \dfrac{\tan x}{e^x} \]예제 5 풀이
양변에 자연로그를 취합니다:
\[ \ln y = \ln(\tan x) - \ln e^x \]\( \ln e^x = x \)임을 이용하여 간소화합니다:
\[ \ln y = \ln(\tan x) - x \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \]모든 항에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^x} \]간소화합니다:
\[ y' = \dfrac{\sec^2 x - \tan x}{e^x} \]참고: 몫의 미분법을 직접 사용하여 이 함수를 미분하고 확인해 보세요.
예제 6
다음으로 주어진 함수 \( y \)의 도함수 \( y' \)를 구하세요:
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]예제 6 풀이
양변에 자연로그를 취하고 로그의 성질을 이용하여 전개합니다:
\[ \ln y = \ln(x - 2) + \ln(x + 4) - \ln(x + 1) - \ln(x + 5) \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \]모든 항에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]간소화합니다:
\[ y' = \dfrac{2(2x^2 + 13x + 29)}{(x + 1)^2 (x + 5)^2} \]참고: 몫의 미분법을 직접 사용하여 결과를 비교해 보세요.
예제 7
로그 미분법을 사용하여 \( u \)와 \( v \)가 \( x \)의 함수일 때 곱의 미분법 \( y = uv \)를 증명하세요.
예제 7 풀이
양변에 자연로그를 취하고 전개합니다:
\[ \ln y = \ln u + \ln v \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]모든 항에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \] \[ y' = u'v + v'u \]참고: 얻어진 결과는 잘 알려진 곱의 미분법입니다.
예제 8
로그 미분법을 사용하여 \( u \)와 \( v \)가 \( x \)의 함수일 때 몫의 미분법 \( y = \dfrac{u}{v} \)를 증명하세요.
예제 8 풀이
양변에 자연로그를 취하고 로그의 성질을 이용하여 전개합니다:
\[ \ln y = \ln u - \ln v \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]모든 항에 \( y \)를 곱합니다:
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \] \[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} \]참고: 얻어진 결과는 잘 알려진 몫의 미분법입니다.