부피의 첫 번째 도함수를 사용하여 상자의 부피를 극대화하는 방법입니다. 풀이가 포함된 부피 최적화 문제입니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
12인치 곱하기 10인치 크기의 금속판으로 뚜껑이 없는 상자를 만들려고 합니다. 각 모서리에서 길이가 \( x \)인 정사각형을 잘라낸 다음, 측면을 접어 상자를 만듭니다. 부피가 최대가 되도록 하는 \( x \)의 값을 구하세요.
문제 풀이 보기
먼저 직육면체 상자의 부피 공식을 사용합니다:
\[ V = L \times W \times H \]만들어진 상자의 치수는 다음과 같습니다:
- \( L = 12 - 2x \)
- \( W = 10 - 2x \)
- \( H = x \)
이제 상자의 부피를 \( x \)에 대한 함수로 작성합니다:
\[ V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(6 - x)(5 - x) = 4x(x^2 - 11x + 30) = 4x^3 - 44x^2 + 120x \]이제 함수 \( V(x) \)의 정의역을 결정합니다. 상자의 모든 치수는 음수가 아니어야 합니다:
\[ x \ge 0, \quad 12 - 2x \ge 0 \implies x \le 6, \quad 10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5 \]이 부등식 시스템을 풀면 \( V(x) \)의 정의역이 구해집니다:
\[ 0 \le x \le 5 \]이제 \( V(x) \)의 일차도함수를 구합니다:
\[ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(4(3x^2 - 22x + 30)\right) = 4(3x^2 - 22x + 30) = 12x^2 - 88x + 120 \]임계점을 찾기 위해 이차방정식 \( 3x^2 - 22x + 30 = 0 \)을 풀어 \( \dfrac{dV}{dx} = 0 \)으로 놓습니다:
\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(3)(30)}}{2(3)} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 360}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{124}}{6} \approx \frac{22 \pm 11.1355}{6} \]이로부터 두 가지 해가 나옵니다:
\[ x_1 \approx \frac{33.1355}{6} \approx 5.52, \quad x_2 \approx \frac{10.8645}{6} \approx 1.81 \]값 \( x \approx 5.52 \)는 정의역 \( [0, 5] \)를 벗어나므로 제외됩니다. 따라서 정의역 내의 유일한 임계점은 \( x \approx 1.81 \)입니다.
이제 임계점과 정의역의 양 끝점에서 \( V(x) \)를 계산합니다:
- \( V(0) = 0 \)
- \( V(5) = 0 \)
- \( V(1.81) \approx 4(1.81)(1.81^2 - 11(1.81) + 30) \approx 96.77 \) 입방 인치
따라서 \( V(x) \)는 \( x \approx 1.81 \)인치일 때 최댓값을 달성합니다. 함수 \( V(x) \)의 그래프가 아래에 표시되어 있으며, \( x = 1.81 \) 근처에서의 최댓값을 확증해 줍니다.
