문제
a) 그래프가 \( x = 1 \)에서 기울기가 8인 직선과 접하고, \( x = -2 \)에서 기울기가 \(-4\)인 직선과 접하며, 수평선 \( y = -8 \)과 접하는 이차함수의 방정식을 구하세요.
b) \( x = 1 \) 및 \( x = -2 \)에서의 접선의 방정식을 구하세요.
c) 구한 이차함수와 3개의 접선을 동일한 좌표계에 그리고 접선과 접점을 표시하세요.
문제 풀이 보기
a) 함수 \( f \)의 그래프에 대한 접선의 기울기는 그 일차도함수로 주어집니다. 표준형으로 작성된 이차함수를 \( f \)라고 합시다:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]\( f \)의 일차도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = 2ax + b \]접선의 기울기는 접점에서 도함수의 값과 같으므로, \( x = 1 \)과 \( x = -2 \)에서의 접선으로부터 두 개의 방정식을 세울 수 있습니다:
\[ f'(1) = 2a(1) + b = 8 \] \[ f'(-2) = 2a(-2) + b = -4 \]이 연립선형방정식을 풉니다:
\[ 2a + b = 8 \] \[ -4a + b = -4 \]첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면 \( 6a = 12 \implies a = 2 \)가 됩니다. \( a = 2 \)를 \( 2(2) + b = 8 \)에 대입하면 \( b = 4 \)를 얻습니다.
세 번째 접선 \( y = -8 \)은 수평선이므로 그 기울기는 \( 0 \)입니다. 수평선은 포물선의 꼭짓점에서 포물선과 접합니다. 꼭짓점의 \( x \)좌표 \( h \)는 \( f'(x) = 0 \)으로 놓고 풉니다:
\[ 2ah + b = 0 \implies h = -\frac{b}{2a} \]\( a = 2 \)와 \( b = 4 \)를 대입합니다:
\[ h = -\frac{4}{2(2)} = -1 \]이차함수의 그래프는 꼭짓점이 \( (-1, -8) \)이므로 \( f(-1) = -8 \)입니다:
\[ f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 2(1) + 4(-1) + c = -8 \] \[ 2 - 4 + c = -8 \implies -2 + c = -8 \implies c = -6 \]따라서 이차함수 \( f \)는 다음과 같습니다:
\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 6 \]b) 이제 이차함수의 방정식을 구했으므로, \( x = 1 \)과 \( x = -2 \)에서의 접점의 \( y \)좌표를 구합니다:
- \( x = 1 \)일 때: \( y = f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0 \text{ (점 } (1, 0) \text{)} \).
- \( x = -2 \)일 때: \( y = f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = -6 \text{ (점 } (-2, -6) \text{)} \).
점-기울기 방정식 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)을 사용합니다:
- \( x = 1 \)에서의 접선 (기울기 \( m = 8 \), \( (1, 0) \) 지남): \( y - 0 = 8(x - 1) \implies y = 8x - 8 \)
- \( x = -2 \)에서의 접선 (기울기 \( m = -4 \), \( (-2, -6) \) 지남): \( y - (-6) = -4(x - (-2)) \implies y + 6 = -4(x + 2) \implies y = -4x - 14 \)
c) 이차함수와 세 접선의 그래프:
