함수의 연속성과 관련된 정리 및 미적분학에서의 응용이 예제와 함께 제시되고 논의됩니다.
정리 1
모든 다항함수와 함수 \( \sin x \), \( \cos x \), \( \arctan x \), \( e^x \)는 구간 \( (-\infty, +\infty) \)에서 연속입니다.
예제: 연속성을 이용한 극한 계산
다음 극한을 구하세요:
- \( \lim_{x\to 0} \sin (x) \)
- \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
- \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) \)
풀이:
함수 \( f \)가 \( x = a \)에서 연속이면, \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)입니다.
- \( \sin(x) \)는 연속이므로: \( \lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0 \)
- \( \cos(x) \)는 연속이므로: \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = -1 \)
- \( \arctan(x) \)는 연속이므로: \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
정리 2
함수 \( f \)와 \( g \)가 \( x = a \)에서 연속이면, 다음 함수들도 \( x = a \)에서 연속입니다:
- A. \( (f + g) \)는 \( x = a \)에서 연속입니다.
- B. \( (f - g) \)는 \( x = a \)에서 연속입니다.
- C. \( (f \cdot g) \)는 \( x = a \)에서 연속입니다.
- D. \( g(a) \neq 0 \)일 때 \( (f / g) \)는 \( x = a \)에서 연속입니다. (\( g(a) = 0 \)이면, \( (f / g) \)는 \( x = a \)에서 불연속입니다).
예제: 대수적 조합의 연속성
\( f(x) = \sin x \)와 \( g(x) = \cos x \)라고 합시다. 함수 \( (f + g) \), \( (f - g) \), \( (f \cdot g) \), \( (f / g) \)는 각각 어떤 구간에서 연속인가요?
풀이:
\( \sin x \)와 \( \cos x \) 모두 모든 곳에서 연속이므로, 정리 2에 따라 \( (f + g) \), \( (f - g) \), \( (f \cdot g) \)는 모든 곳에서 연속입니다.
그러나 \( (f / g) \)는 분모 \( g(x) = 0 \)으로 만드는 \( x \) 값을 제외하고 모든 곳에서 연속입니다. 이 값들은 다음 방정식을 풀어 구할 수 있습니다:
\[ \cos x = 0 \]\( \cos x = 0 \)을 만족하는 값은 다음과 같습니다:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (\text{단, } k \text{는 임의의 정수}) \]따라서 \( (f / g) \)는 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)인 지점을 제외하고 모든 곳에서 연속입니다.
정리 3
유리함수는 분모를 0으로 만드는 \( x \) 값을 제외하고 모든 곳에서 연속입니다.
예제: 불연속점 찾기
함수 \( f \)가 불연속인 \( x \)의 값을 구하세요:
\[ f(x) = \frac{x - 2}{(2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5)} \]풀이:
\( f \)의 분모는 두 항의 곱으로 이루어져 있습니다:
\[ (2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5) \]항 \( x^4 + 5 \)는 항상 양수이므로 결코 0이 될 수 없습니다. 이제 다음 방정식을 풀어 \( 2x^2 + 2x - 4 \)의 영점을 찾습니다:
\[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]양변을 2로 나누면 \( x^2 + x - 2 = 0 \)이 되며, 이는 \( (x - 1)(x + 2) = 0 \)으로 인수분해됩니다.
해는 \( x = 1 \)과 \( x = -2 \)입니다.
따라서 함수 \( f \)는 \( x = 1 \)과 \( x = -2 \)에서 불연속입니다.
정리 4
\( \lim_{x\to a} g(x) = L \)이고 함수 \( f \)가 \( x = L \)에서 연속이면, 다음이 성립합니다:
\[ \lim_{x\to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to a} g(x)\right) = f(L) \]예제: 합성함수의 극한 계산
다음 극한을 구하세요:
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) \]풀이:
\( \sin x \)는 모든 곳에서 연속이고 \( 2x + 5 \)는 다항함수(모든 곳에서 연속)입니다. 따라서:
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to a}(2x + 5)\right) = \sin(2a + 5) \]정리 5
\( g \)가 \( x = a \)에서 연속이고 함수 \( f \)가 \( g(a) \)에서 연속이면, 합성함수 \( f \circ g \)는 \( x = a \)에서 연속입니다.
예제: 지수 합성함수의 연속성 증명
\( a \)와 \( b \)가 실수일 때, \( e^{ax + b} \) 형태의 함수는 어디서나 연속임을 보이세요.
풀이:
지수함수 \( f(x) = e^x \)와 일차함수 \( g(x) = ax + b \)는 모든 곳에서 연속입니다. 따라서 이들의 합성함수 \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) 역시 모든 곳에서 연속입니다.