임의의 밑을 가진 로그함수의 도함수를 구하는 단계별 과정이 상세한 설명과 함께 제시됩니다.
밑변환 공식의 활용
\( y = \log_a x \)라고 놓습니다.
밑변환 공식을 사용하여 자연로그 \( \ln \)을 이용해 \( y = \log_a x \)를 다시 씁니다:
\[ y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]이제 도함수를 구합니다:
\[ \frac{d}{dx} \left(\log_a x\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right) \]\( \ln a \)는 상수이고 \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)임을 이용하면 다음을 얻습니다:
풀이가 포함된 예제
예제 1: 기본 및 합성 로그함수의 도함수
문제: 다음 함수의 도함수를 구하세요:
a) \( y = \log_3(x) \)
b) \( y = \log_5(x^2 + 2x - 1) \)
풀이:
a) 식 \( (I) \)의 공식을 사용하면 다음을 얻습니다:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 3} \]b) b번의 함수는 \( u(x) = x^2 + 2x - 1 \)인 \( y = \log_5 u(x) \) 형태의 합성함수입니다.
미적분학의 연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad (II) \]공식 \( (I) \)을 사용합니다:
\[ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln 5} \]\( \frac{du}{dx} \)를 구합니다:
\[ \frac{du}{dx} = 2x + 2 \]\( \frac{dy}{du} \)와 \( \frac{du}{dx} \)를 \( (II) \)에 대입합니다:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln 5} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x - 1) \ln 5} \]예제 2: 로그함수가 감소함수임을 증명하기
문제: 함수 \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \)가 그 정의역에서 감소함수임을 보이세요.
풀이:
식 \( (I) \)의 공식을 사용하여 도함수를 구합니다:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln\left(\frac{1}{2}\right)} \]다음 성질을 참고하세요:
\[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2 \]따라서:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \]주어진 함수 \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \)의 정의역은 \( x > 0 \)인 모든 \( x \) 값들의 집합입니다. 그러므로 도함수 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \)는 정의역 전체에서 음수입니다. 도함수가 함수의 정의역 전체에서 음수이므로, \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \)는 감소함수입니다.