극좌표계에서의 넓이 계산

이 원은 반직선 \( \theta = \theta_1 \)과 \( \theta = \theta_2 \)에 의해 쓸려 나가며, 우리는 \( \theta_1 \)과 \( \theta_2 \)를 찾아야 합니다.

이 원은 원점(\( r(\theta) = 0 \))에서 시작하여 원점(\( r(\theta) = 0 \))에서 끝납니다. 따라서 각도 \( \theta_1 \)과 \( \theta_2 \)는 \( r(\theta) = 0 \)을 풀어 구합니다:

\[ \sin(\theta) = 0 \]

이는 다음 해를 줍니다:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{그리고} \quad \theta_2 = \pi \]

원의 넓이 \( A \)는 다음과 같이 주어집니다:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 \sin \theta)^2 \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} (\sin \theta)^2 \, d\theta \]

삼각함수 항등식 \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \)을 사용합니다:

\[ A = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \left[ \theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\pi} = \pi \]

반지름이 \( 1 \)인 주어진 원의 넓이는 표준 공식 \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \)와 일치합니다.

그래프의 대칭성 때문에, 하나의 루프(고리)로 둘러싸인 넓이를 구한 후 그 결과에 3을 곱합니다.

오른쪽에 있는 루프는 원점(\( r(\theta) = 0 \))에서 시작하고 끝납니다. \( \sin(3\theta) = 0 \)을 풉니다:

\[ 3\theta = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]

제1사분면에 있는 첫 번째 루프에 대해:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{그리고} \quad \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]

단일 루프의 넓이는 다음과 같습니다:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(6\theta)) \, d\theta = \dfrac{1}{4} \left[ \theta - \dfrac{1}{6}\sin(6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{12} \]

세 루프의 총 넓이는 다음과 같습니다:

\[ 3A = \dfrac{\pi}{4} \]

대칭성으로 인해, 오른쪽에 있는 두 곡선으로 둘러싸인 면적의 넓이를 구한 후 2를 곱합니다.

넓이는 두 부분 \( A_1 \)과 \( A_2 \)로 구성됩니다:

\[ A_1 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r_1^2(\theta) \, d\theta, \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_2}^{\theta_3} r_2^2(\theta) \, d\theta \]

적분 한계:

• \( \theta_1 = 0 \) (\( r_1(\theta) = 0 \)인 곳)
• \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \) (\( r_2(\theta) = 0 \)인 곳)
• \( \theta_2 \)는 교점입니다: \( \sin(\theta) = 0.5(1 + \cos(2\theta)) \). \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \)를 사용하면 \( \sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \)을 얻고, 이를 통해 \( \sin\theta = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \), 따라서 \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \)가 됩니다.

적분 계산:

\[ A_1 = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{0.66624} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta \approx 0.0450915 \] \[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2} \int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4\theta)) + 2\cos(2\theta)\right) d\theta \approx 0.0409645 \]

총 공통 넓이 \( A = 2(A_1 + A_2) \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 0.172112 \).