제곱 완성법과 치환 기법을 사용하여 이차식이 포함된 적분을 평가하는 방법에 대한 예제, 상세한 해설, 그리고 정답이 포함된 연습문제입니다. 연습문제와 그 해답도 포함되어 있습니다.
도함수 및 적분 공식 리뷰
참고: 아래 내용에서 \( c \)는 적분 상수입니다.
먼저 이차식이 포함된 알려진 역함수들의 도함수 공식을 리뷰합니다:
\[ \begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arcsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arccosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{aligned} \]이제 위의 미분 공식을 사용하여 상응하는 적분 공식을 작성합니다:
상세 해설이 포함된 예제
예제 1
다음 적분을 평가하세요:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx \]예제 1 해설
먼저 식 \( -x^2 - x \)에 대해 제곱을 완성합니다:
\[ \begin{aligned} & -x^2 - x \\ & = -(x^2 + x) \\ & = -\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \end{aligned} \]위 식을 주어진 적분에 대입합니다:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2}} \, dx \]제곱근 안에서 \( \dfrac{1}{4} \)을 밖으로 꺼냅니다:
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(1 - \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right)^2\right)}} \, dx = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}} \, dx \]치환 기법을 사용합니다: \( z = 2x + 1 \)로 두면, \( dz = 2 \, dx \) (즉, \( dx = \dfrac{dz}{2} \))가 됩니다:
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz = \arcsin(z) + c \]최종 답을 얻기 위해 \( z = 2x + 1 \)을 다시 대입합니다:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \arcsin(2x + 1) + c \]예제 2
다음 적분을 평가하세요:
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx \]예제 2 해설
먼저 식 \( 3x^2 + 12x + 24 \)에 대해 제곱을 완성합니다:
\[ \begin{aligned} & = 3(x^2 + 4x) + 24 \\ & = 3\left((x + 2)^2 - 4\right) + 24 \\ & = 3(x + 2)^2 - 12 + 24 = 3(x + 2)^2 + 12 \\ & = 12\left(\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 1\right) = 12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right) \end{aligned} \]적분에 대입하고 치환을 사용합니다 (\( z = \dfrac{x}{2} + 1 \), \( dx = 2 \, dz \)):
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx = \int \dfrac{2}{12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right)} \, dx = \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (2 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz \]평가하고 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x}{2} + 1\right) + c \]예제 3
다음 적분을 평가하세요:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \, dx \]예제 3 해설
\( x^2 + 12x + 40 \)에 대한 제곱을 완성합니다:
\[ x^2 + 12x + 40 = (x + 6)^2 - 36 + 40 = (x + 6)^2 + 4 \]적분식을 다시 씁니다:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{(x + 6)^2 + 4}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{4\left(\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1\right)}} \, dx = \int \dfrac{1}{2\sqrt{\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1}} \, dx \]\( z = \dfrac{x}{2} + 3 \)으로 두면, \( dx = 2 \, dz \)입니다:
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \, dz = \operatorname{arcsinh}(z) + c = \operatorname{arcsinh}\left(\dfrac{x}{2} + 3\right) + c \]예제 4
다음 적분을 평가하세요:
\[ \int \dfrac{1}{10 + x^2 - 2x} \, dx \]예제 4 해설
분모인 \( 10 + x^2 - 2x \)에 대한 제곱을 완성합니다:
\[ x^2 - 2x + 10 = (x - 1)^2 - 1 + 10 = (x - 1)^2 + 9 \]적분식을 다시 쓰고 \( 9 \)를 밖으로 빼냅니다:
\[ \int \dfrac{1}{(x - 1)^2 + 9} \, dx = \int \dfrac{1}{9\left(\left(\dfrac{x - 1}{3}\right)^2 + 1\right)} \, dx \]\( z = \dfrac{x - 1}{3} \)로 두면, \( dx = 3 \, dz \)입니다:
\[ = \dfrac{1}{9} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (3 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c \]\( z \)를 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x - 1}{3}\right) + c \]연습문제
아래의 적분들을 평가하세요:
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 12x + 45} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2 + 10x + 13}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{5 + x^2 + 2x} \, dx \)
위 연습문제 해답
- \( 3 \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \)
- \( \arctan\left(\dfrac{x}{3} + 2\right) + c \)
- \( \operatorname{arcsinh}(2x + 5) + c \)
- \( \dfrac{1}{2} \arctan\left(\dfrac{x + 1}{2}\right) + c \)