\( x \)의 절댓값의 적분: \( \int |x| \, dx \)

유도 및 평가

다음 부정적분을 평가합니다:

\[ \int |x| \, dx \]

피적분 함수를 곱의 형태기로 다시 씁니다:

\[ \int |x| \, dx = \int 1 \cdot |x| \, dx \quad (I) \]

\( |x| = \sqrt{x^2} \)이고 \( x \)에 대한 미분은 다음과 같습니다:

\[ \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d(\sqrt{x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \]

우측의 적분에 부분적분법 공식: \( \displaystyle \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \)을 적용합니다.

\( u' = 1 \) 및 \( v = |x| \)로 놓으면, \( u = x \)이고 \( v' = \dfrac{x}{|x|} \)가 됩니다 (단계 II 참고).

부분적분 공식에 대입합니다:

\[ = x |x| - \int x \cdot \dfrac{x}{|x|} \, dx \quad (III) \]

피적분 함수 항 \( x \cdot \dfrac{x}{|x|} \)을 정리합니다:

\[ x \cdot \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{|x|^2}{|x|} = |x| \]

정리된 피적분 함수를 식 (III)에 다시 대입합니다:

\[ \int |x| \, dx = x |x| - \int |x| \, dx \]

양쪽에 \( \displaystyle \int |x| \, dx \)를 더합니다:

\[ \int |x| \, dx + \int |x| \, dx = x |x| \] \[ 2 \int |x| \, dx = x |x| \]

2로 나누고 적분 상수 \( C \)를 더하면 최종 해답은 다음과 같습니다: