자연로그 함수가 포함된 적분을 구합니다: 예제와 상세한 풀이가 포함된 튜토리얼입니다. 또한 튜토리얼 끝부분에는 정답이 포함된 연습문제가 제시되어 있습니다. 이 사이트의 적분 공식 모음과 적분의 성질을 활용하실 수 있습니다. 이어지는 내용에서 \( C \)는 적분상수이며 임의의 상수 값을 가질 수 있습니다.
풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 상세한 풀이를 확인하세요.
예제 1: \( \displaystyle \int \ln(x) \, dx \)를 구하세요.
예제 1 풀이:
\( U = \ln(x) \) 및 \( V' = 1 \)로 놓고 부분적분법을 사용합니다. 따라서 \( U' = \dfrac{1}{x} \)이고 \( V = x \)입니다:
\[ \begin{aligned} \int \ln(x) \, dx &= \int U V' \, dx \\ &= U V - \int U' V \, dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + C \end{aligned} \]검산: \( x \ln(x) - x + C \)를 미분하면 주어진 적분의 피적분 함수인 \( \ln(x) \)가 나오는지 확인해 보세요.
예제 2: \( \displaystyle \int \ln(2x + 1) \, dx \)를 구하세요.
예제 2 풀이:
치환: \( u = 2x + 1 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) 또는 \( du = 2 \, dx \), 즉 \( dx = \dfrac{du}{2} \)가 됩니다. 적분식은 다음과 같이 변환됩니다:
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]이제 (예제 1에서 구한) \( \ln(u) \) 함수에 대한 적분 공식을 사용합니다:
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]\( u \)를 다시 \( 2x + 1 \)로 대입합니다:
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]여기서 \( K = C - \dfrac{1}{2} \)는 상수입니다.
검산: 결과를 미분하여 피적분 함수와 일치하는지 확인하세요.
예제 3: \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)를 구하세요.
예제 3 풀이:
\( f(x) = \ln x \) 및 \( g'(x) = x \)로 놓으면 \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \)이고 \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \)가 됩니다.
부분적분법 공식 \( \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx \)을 적용하면 다음과 같습니다:
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]연습: \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \)를 미분하여 피적분 함수 \( x \ln x \)가 되는지 확인해 보세요.
예제 4: \( \displaystyle \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx \)를 구하세요.
예제 4 풀이:
\( u = \ln x \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) 또는 \( du = \dfrac{1}{x} \, dx \)가 됩니다. 치환 후 적분식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]적분하면 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]\( u \)를 다시 \( \ln x \)로 치환합니다:
\[ = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C \]연습 삼아 미분을 통해 최종 정답을 확인해 보세요.
연습문제
다음 적분을 구하세요:
- \( \displaystyle \int x^3 \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int (x - \ln x) \, dx \)
위 연습문제 정답
- \( \dfrac{x^4 \ln x}{4} - \dfrac{x^4}{16} + C \)
- \( \dfrac{x^2}{2} - x \ln x + x + C \)