라플라스 변환의 정의
실수 변수 \( t \)의 함수 \( f(t) \)가 \( t \geq 0 \)일 때, 함수 \( f \)의 라플라스 변환 \( F(s) \)는 다음과 같은 적분으로어 주어집니다:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \]여기서 \( s \)는 복소수 변수입니다. 이 식에서 \( f(t) \)는 원본 함수(시간 영역)라 부르고, \( F(s) \)는 상 함수(주파수 영역)라고 부릅니다.
라플라스 변환표
| \( f(t) \) | \( F(s) \) |
|---|---|
| \( 1 \) | \( \dfrac{1}{s} \) |
| \( t \) | \( \dfrac{1}{s^2} \) |
| \( t^n \) | \( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \) |
| \( t^{1/2} \) | \( \dfrac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}} \) |
| \( t^{-1/2} \) | \( \sqrt{\dfrac{\pi}{s}} \) |
| \( e^{-at} \) | \( \dfrac{1}{s + a} \) |
| \( t e^{-at} \) | \( \dfrac{1}{(s + a)^2} \) |
| \( \sin(at) \) | \( \dfrac{a}{s^2 + a^2} \) |
| \( t \sin(at) \) | \( \dfrac{2as}{(s^2 + a^2)^2} \) |
| \( e^{-at} \sin(bt) \) | \( \dfrac{b}{(s + a)^2 + b^2} \) |
| \( \cos(at) \) | \( \dfrac{s}{s^2 + a^2} \) |
| \( t \cos(at) \) | \( \dfrac{s^2 - a^2}{(s^2 + a^2)^2} \) |
| \( e^{-at} \cos(bt) \) | \( \dfrac{s + a}{(s + a)^2 + b^2} \) |
| \( \sinh(at) \) | \( \dfrac{a}{s^2 - a^2} \) |
| \( \cosh(at) \) | \( \dfrac{s}{s^2 - a^2} \) |
| \( 1 - \cos(at) \) | \( \dfrac{a^2}{s(s^2 + a^2)} \) |
| \( \left(\dfrac{2}{t}\right)(t - \cos(at)) \) | \( \ln \left( \dfrac{s^2 + a^2}{s^2} \right) \) |
| \( \left(\dfrac{2}{t}\right)(t - \cosh(at)) \) | \( \ln \left( \dfrac{s^2 - a^2}{s^2} \right) \) |
| \( \left(\dfrac{1}{t}\right)\sin(at) \) | \( \arctan \left( \dfrac{a}{s} \right) \) |