정적분을 사용하여 곡선 아래의 넓이를 구하는 방법; 예제 및 상세한 해설이 포함된 튜토리얼이 제공됩니다. 페이지 하단에는 정답이 포함된 연습문제 세트가 제공됩니다. 곡선 사이의 넓이에 대한 튜토리얼도 포함되어 있습니다.
곡선 아래의 넓이: 리뷰
전체 넓이를 직사각형들로 나누어 \( x = x_1 \)부터 \( x = x_n \)까지의 곡선 아래 넓이를 근사할 수 있습니다.
예를 들어, 첫 번째 직사각형의 넓이는 다음과 같습니다:
\[ y \Delta x = f(x_1)\Delta x \]이 직사각형들의 넓이를 더하면 다음과 같습니다:
\[ \text{Approximate Area} = \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]위의 근사에서 \( \Delta x \)가 충분히 작아지면, 직사각형들의 넓이 합은 곡선 아래 넓이의 정확한 값에 접근하게 됩니다.
따라서 극한을 사용하여 정확한 넓이를 정의합니다:
\[ \text{Exact Area} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]정적분의 개념을 사용하여, 이 극한은 다음과 같이 나타냅니다:
이제 상세한 해설과 함께 적분을 사용하여 곡선 아래의 넓이를 구하는 여러 가지 예제를 제시합니다.
상세 해설이 포함된 예제
예제 1
\( y = 2x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), 및 \( x = 2 \)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.
예제 1 해설
방법 1: 삼각형 넓이의 기하학적 공식
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \; \text{unit}^2 \]방법 2: 미적분학 사용 (정적분)
\( f(x) = 2x \)라고 합시다:
\[ \text{Area} = \int_{0}^{2} (2x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4 \; \text{unit}^2 \]첫 번째 방법은 삼각형에 대해 빠르지만, 미적분학은 임의의 곡선에도 작동합니다.
예제 2
\( y = 0.1x^3 \), \( y = 0 \), \( x = 2 \), 및 \( x = 4 \)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.
예제 2 해설
정적분을 사용하여 넓이를 구합니다:
\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \int_{2}^{4} (0.1x^3)\,dx \\ &= 0.1 \int_{2}^{4} x^3\,dx \\ &= 0.1 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_2^4 \\ &= 0.1 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) = 6 \; \text{unit}^2 \end{aligned} \]예제 3
곡선 \( y = 3(x - 1)(x - 3) \)과 x축으로 둘러싸인 유한한 영역의 넓이를 구하세요.
예제 3 해설
적분 구간은 인수분해된 형태에서 명확히 알 수 있듯이 x절편인 \( x = 1 \)과 \( x = 3 \)입니다.
\[ \begin{aligned} \int_{1}^{3} 3(x - 1)(x - 3)\,dx &= 3 \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,dx \\ &= 3 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^3 \\ &= 3 \left[ (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) \right] = -4 \end{aligned} \]곡선이 \( x = 1 \)과 \( x = 3 \) 사이에서 x축 아래에 있으므로 정적분의 값이 음수라는 점에 유의하세요. 실제 넓이는 절댓값입니다: \( |-4| = 4 \; \text{unit}^2 \).
예제 4
곡선 \( y = -0.25x(x + 2)(x - 1)(x - 4) \)과 x축으로 둘러싸인 유한한 영역의 넓이를 구하세요.
예제 4 해설
x절편은 \( x = -2 \), \( x = 1 \), 및 \( x = 4 \)입니다. 영역은 세 부분으로 나뉩니다: \( -2 \)부터 \( 0 \)까지, \( 0 \)부터 \( 1 \)까지, 그리고 \( 1 \)부터 \( 4 \)까지.
영역 1 (\( [-2, 0] \)):
\[ I_1 = -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 3.4 \]영역 2 (\( [0, 1] \)):
\[ I_2 = -0.25 \int_{0}^{1} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = -0.3625 \]영역 3 (\( [1, 4] \)):
\[ I_3 = -0.25 \int_{1}^{4} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 13.1625 \]음수인 영역의 절댓값을 취하면, 총 넓이는 다음과 같습니다:
\[ \text{Area} = I_1 + |I_2| + I_3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unit}^2 \]예제 5
곡선 \( y = -x(x - k) \)와 x축으로 둘러싸인 유한한 영역의 넓이가 \( 4/3 \) 단위\(^2\)가 되도록 하는 \( k \)를 구하세요.
예제 5 해설
절편은 \( x = 0 \)과 \( x = k \)입니다:
\[ \text{Area} = \int_{0}^{k} (-x^2 + kx) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{kx^2}{2} \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{6} \]이를 \( 4/3 \)과 같다고 놓습니다:
\[ \frac{k^3}{6} = \frac{4}{3} \implies k^3 = 8 \implies k = 2 \]연습문제
- \( y = -(x + 1)(x - 3) \)과 \( y = 0 \)으로 둘러싸인 유한한 영역의 넓이를 구하세요.
- \( y = \sin(x) \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), 및 \( x = 2\pi \)로 둘러싸인 유한한 영역의 넓이를 구하세요.
- 수직축 \( x = 0 \), \( x = k \), 및 x축 사이에서 곡선 \( y = x + 2 \) 아래의 넓이가 \( 2 \)가 되도록 하는 \( k > 0 \)을 구하세요.
위 연습문제 해답
- \( \dfrac{32}{3} \)
- \( 4 \)
- \( k = 2\sqrt{2} - 2 \)