곡선의 길이

예제 1 풀이:

먼저 도함수를 계산합니다:

\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2x \]

호의 길이 공식을 사용합니다:

\[ L = \int_{-15}^{10} \sqrt{1 + (0.2x)^2} \, dx \]

삼각치환법 \( \tan u = 0.2x \)를 사용합니다. 양변을 미분하면 다음과 같습니다:

\[ \sec^2 u \, du = 0.2 \, dx \implies dx = 5\sec^2 u \, du \]

\( \tan u = 0.2x \)에서 \( u \)를 구하면 \( u = \arctan(0.2x) \)가 됩니다. 치환 후 적분 구간의 한계는 다음과 같습니다:

• \( u_1 = \arctan(0.2(-15)) = \arctan(-3) \approx -1.24904 \) (\( x = -15 \)일 때)
• \( u_2 = \arctan(0.2(10)) = \arctan(2) \approx 1.10714 \) (\( x = 10 \)일 때)

적분식에 대입합니다:

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sqrt{1 + \tan^2 u} \sec^2 u \, du \]

항등식 \( \sqrt{1 + \tan^2 u} = |\sec u| \)을 이용합니다:

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} |\sec u| \sec^2 u \, du \]

구간 \( [-1.24904, 1.10714] \)에서 \( \sec u > 0 \)이므로 \( |\sec u| = \sec u \)가 되어 다음과 같습니다:

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sec^3 u \, du \]

\( \sec^3 u \)의 적분을 이용합니다:

\[ L = \left[ \dfrac{5}{2} \left( \sec u \tan u + \ln|\sec u + \tan u| \right) \right]_{-1.24904}^{1.10714} \approx 43.05 \]

예제 2 풀이:

도함수를 계산합니다:

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx}[\ln(\sin x)] = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]

호의 길이 공식을 적용합니다:

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + (\cot x)^2} \, dx \]

삼각함수 항등식 \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \)을 이용합니다:

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\csc^2 x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\csc x| \, dx \]

닫힌구간 \( \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right] \)에서 \( \csc x > 0 \)이므로 \( |\csc x| = \csc x \)입니다:

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc x \, dx \]

표준 적분 공식인 \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + C \)을 이용합니다:

\[ L = \left[ \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(1) - \ln\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right) \approx 0 - (-0.88137) \approx 0.88137 \]

예제 3 풀이:

연쇄 법칙을 사용하여 도함수를 계산합니다:

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{-2(x+2)}{2\sqrt{9 - (x+2)^2}} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]

호의 길이 공식을 적용합니다:

\[ L = \int_{-4}^{0} \sqrt{1 + \left( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \right)^2} \, dx \]

피적분 함수를 정리합니다:

\[ 1 + \dfrac{(x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9 - (x+2)^2 + (x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9}{9 - (x+2)^2} \]

제곱근을 취합니다:

\[ L = \int_{-4}^{0} \dfrac{3}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \, dx \]

치환 \( u = x+2 \), \( du = dx \)를 사용합니다. \( x = -4 \)일 때 \( u = -2 \); \( x = 0 \)일 때 \( u = 2 \)입니다:

\[ L = \int_{-2}^{2} \dfrac{3}{\sqrt{9 - u^2}} \, du = 3 \left[ \arcsin\left(\dfrac{u}{3}\right) \right]_{-2}^{2} \] \[ = 3 \left( \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) - \arcsin\left(-\dfrac{2}{3}\right) \right) = 6 \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 4.38 \]