분수를 더 다루기 쉬운 분수로 분해하는 과정[1]을 소개합니다. 그 중요한 응용 중 하나는 미적분학에서 유리함수 적분을 계산하는 것입니다. 예제와 질문, 그리고 그에 대한 풀이가 포함되어 있습니다.
예제와 질문의 정답을 확인하기 위해 온라인 부분분수 분해 계산기를 사용할 수 있습니다.
부분분수 분해 규칙
유리함수 \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \)를 부분분수로 어떻게 분해할까요?
1 - 위 유리함수의 분모에 있는 다항식 \( Q(x) \)를 다음과 같은 형태의 인수로 완전히 인수분해합니다:
\[ (ax + b)^m \quad \text{and} \quad (ax^2 + bx + c)^n \]예제: \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \)라고 합시다. 분모는 \( x^3 + 2x^2 + 4x = x(x^2 + 2x + 4) \)로 인수분해됩니다. 이차항 \( x^2 + 2x + 4 \)는 실수 범위에서 기약 이차식입니다.
2 - \( (ax + b)^m \) 형태의 각 인수에 대해, 분해식에는 다음과 같은 분수의 합이 포함됩니다:
\[ \dfrac{C_1}{ax + b} + \dfrac{C_2}{(ax + b)^2} + \dots + \dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]예제: 분수 \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \)는 \( \dfrac{C_1}{x-2} + \dfrac{C_2}{(x-2)^2} + \dfrac{C_3}{(x-2)^3} \)로 분해됩니다.
3 - \( (ax^2 + bx + c)^n \) 형태의 각 인수에 대해, 분해식에는 다음과 같은 분수의 합이 포함됩니다:
\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \dots + \dfrac{A_n x + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \]상세한 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 상세한 단계별 풀이를 확인하세요.
예제 1: 부분분수로 분해하세요: \( \displaystyle \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} \)
예제 1 풀이:
먼저 분모를 인수분해합니다:
\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]두 인수 모두 차수가 \( 1 \)인 일차식이므로, 주어진 분수는 다음과 같이 분해됩니다:
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \]양변에 최소공배수인 \( (x - 2)(x + 1) \)을 곱하고 정리합니다:
\[ 2x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]우변을 전개하고 동류항끼리 묶습니다:
\[ 2x + 5 = x(A + B) + A - 2B \]다항식의 계수를 비교합니다:
\[ 2 = A + B \quad \text{and} \quad 5 = A - 2B \]이 연립방정식을 풀면 \( A = 3 \)과 \( B = -1 \)이 얻어집니다. 대입하면:
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 1} \]예제 2: 부분분수로 분해하세요: \( \displaystyle \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} \)
예제 2 풀이:
분모를 인수분해합니다:
\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]중복된 일차 인수 규칙을 사용합니다:
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x + 1)^2} \]양변에 \( (x + 1)^2 \)을 곱합니다:
\[ 1 - 2x = A(x + 1) + B \implies -2x + 1 = Ax + (A + B) \]계수를 비교합니다:
\[ -2 = A \quad \text{and} \quad 1 = A + B \implies B = 3 \]\( A \)와 \( B \)를 대입합니다:
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{-2}{x + 1} + \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]예제 3: 부분분수로 분해하세요: \( \displaystyle \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} \)
예제 3 풀이:
일차 인수 및 기약 이차 인수 규칙을 사용하여 분해합니다:
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3} \]양변에 \( (x - 2)(x^2 + 2x + 3) \)을 곱합니다:
\[ 4x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x - 2) \]\( x = 2 \)를 대입합니다:
\[ 4(4) - 2 + 8 = A(4 + 4 + 3) \implies 22 = 11A \implies A = 2 \]\( x = 0 \)을 대입합니다:
\[ 8 = A(3) + C(-2) \implies 8 = 2(3) - 2C \implies 2 = -2C \implies C = -1 \]\( x = 1 \)을 대입합니다 (\( A = 2, C = -1 \)임을 알고 있으므로):
\[ 4(1) - 1 + 8 = 2(1 + 2 + 3) + (B - 1)(1 - 2) \] \[ 11 = 12 - (B - 1) \implies B = 2 \]분수는 다음과 같이 분해됩니다:
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 2x + 3} \]질문
다음 분수를 부분분수로 분해하세요:
- \( \displaystyle \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} \)
위 질문에 대한 풀이
-
분모 인수분해: \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \).
설정: \( \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2} \).
정답: \( \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{x + 2} \) -
분모는 이미 인수분해되어 있습니다.
설정: \( \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{(x - 3)^2} \).
정답: \( \dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{3}{(x - 3)^2} \) -
식 \( x^2 + 5x + 10 \)은 실수 범위에서 인수분해할 수 없습니다 (\( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 < 0 \)).
설정: \( \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 5x + 10} \).
정답: \( -\dfrac{2}{x + 4} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 5x + 10} \)
참고문헌 및 관련 링크
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
- 온라인 부분분수 분해 계산기