부분분수 분해를 사용하여 유리함수의 적분을 계산합니다. 이 튜토리얼에서는 분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같은 경우를 포함하여 상세한 풀이가 포함된 예제를 제시합니다.
참고: 이후 설명에서 \( C \)는 적분상수를 나타냅니다.
유리함수 분해를 돕기 위해 온라인 부분분수 분해 계산기를 사용할 수도 있습니다.
풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 상세한 단계별 풀이를 확인하세요.
예제 1: \( \displaystyle \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx \)를 구하세요.
예제 1 풀이:
부분분수 분해를 사용하여 피적분 함수를 더 간단한 분수로 분해합니다:
\[ \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{7}{x + 2} \]이제 항별로 적분을 계산합니다:
\[ \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \dfrac{2}{x - 1} \, dx - \int \dfrac{7}{x + 2} \, dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 7\ln|x + 2| + C \]예제 2: \( \displaystyle \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx \)를 구하세요.
예제 2 풀이:
피적분 함수의 부분분수 분해 결과는 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} = \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} - \dfrac{1}{x + 3} \]이제 적분을 계산합니다:
\[ \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx = \int \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} \, dx - \int \dfrac{1}{x + 3} \, dx \] \[ = \ln|x^2 + 2x + 9| - \ln|x + 3| + C \]예제 3: \( \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx \)를 구하세요.
예제 3 풀이:
이 예제에서는 분자의 차수가 분모의 차수보다 큽니다. 먼저 다항식 나눗셈을 수행합니다:
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x - \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \]\( \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \) 항의 부분분수 분해 결과는 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x + \dfrac{2}{x + 2} - \dfrac{3}{x + 3} \]위 식을 이용하여 적분식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx = \int 2x \, dx + \int \dfrac{2}{x + 2} \, dx - \int \dfrac{3}{x + 3} \, dx \]적분을 계산하면 다음과 같습니다:
\[ = x^2 + 2\ln|x + 2| - 3\ln|x + 3| + C \]연습문제
부분분수를 사용하여 다음 적분을 구하세요. 각 연습문제를 클릭하면 단계별 풀이가 표시됩니다.
연습문제 1: \( \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \)를 구하세요.
풀이:
더 간단한 분수로 분해합니다:
\[ \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} \]따라서,
\[ \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \left(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2}\right) dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C \]연습문제 2: \( \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx \)를 구하세요.
풀이:
더 간단한 분수로 분해합니다:
\[ \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} = -\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2} \]따라서,
\[ \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx = \int \left(-\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2}\right) dx \] \[ = \ln|2x^2 + x + 2| - 6\ln|x + 7| + C \]연습문제 3: \( \displaystyle \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx \)를 구하세요.
풀이:
분자의 차수가 더 높으므로 먼저 다항식 나눗셈을 수행한 후 분해합니다:
\[ \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} = x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2} \]따라서,
\[ \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx = \int \left(x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2}\right) dx \] \[ = \dfrac{x^3}{3} + 2\ln|x + 1| + 5\ln|x + 2| + C \]