미적분학에서 부정적분의 규칙을 사용하는 방법에 대한 예제와 상세한 풀이가 포함된 튜토리얼입니다. 풀이가 포함된 문제 세트도 함께 수록되어 있습니다.
이후 설명에서 \( C \)는 적분상수이며 임의의 값을 가질 수 있습니다.
1 - 거듭제곱 함수의 적분: \( f(x) = x^n \)
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]예제: 적분 \( \displaystyle \int x^5 \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\[ \int x^5 \, dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]2 - 함수 \( f \)에 상수 \( k \)가 곱해진 경우의 적분: \( k f(x) \)
\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]예제: 적분 \( \displaystyle \int 5 \sin(x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
위의 규칙에 따라:
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = 5 \int \sin(x) \, dx \]\( \displaystyle \int \sin(x) \, dx \)는 적분 공식 모음의 공식 2.1에 의해 주어지므로:
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = -5 \cos x + C \]3 - 합의 적분
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]예제: 적분 \( \displaystyle \int (x + e^x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
위의 성질에 따라:
\[ \int (x + e^x) \, dx = \int x \, dx + \int e^x \, dx \]\( \int x \, dx \)는 적분 공식 모음의 1.3, \( \displaystyle \int e^x \, dx \)는 4.1에 의해 주어지므로:
\[ \int (x + e^x) \, dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]4 - 차의 적분
\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]예제: 적분 \( \displaystyle \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
위의 성질에 따라:
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = \int 2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \]\( \int 2 \, dx \)는 적분 공식 모음의 1.2, \( \int \frac{1}{x} \, dx \)는 1.4에 의해 주어지므로:
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = 2x - \ln|x| + c \]5 - 치환적분법
\[ \int f(u) \dfrac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]예제: 적분 \( \displaystyle \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( u = x^2 - 1 \)이라 하면 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)이므로 주어진 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx = \int u^{20} \dfrac{du}{dx} \, dx = \int u^{20} \, du \]적산 결과는 다음과 같습니다:
\[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \]\( u = x^2 - 1 \)을 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]6 - 부분적분법
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]Example: 적분 \( \displaystyle \int x \cos x \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( f(x) = x \) 및 \( g'(x) = \cos x \)라 하면 \( f'(x) = 1 \) 및 \( g(x) = \sin x \)가 됩니다.
위의 부분적분법 공식으로부터:
\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \] \[ = x \sin x + \cos x + c \]풀이가 포함된 추가 문제
적분 공식 모음과 위의 규칙을 사용하여 다음 적분을 구하세요. [참고: 하나의 적분을 구하기 위해 위 규칙 중 둘 이상을 사용해야 할 수도 있습니다].
각 문제를 클릭하여 상세한 단계별 풀이를 확인하세요.
문제 1: \( \displaystyle \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
상수 \( \frac{1}{2} \)를 적분 기호 밖으로 빼냅니다:
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) \, dx \]부분적분법을 사용합니다. \( u = \ln(x) \) 및 \( dv = dx \)라 하면 \( du = \frac{1}{x} \, dx \)이고 \( v = x \)입니다:
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \] \[ \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx = x\ln(x) - x + C \]따라서:
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2}\bigl(x\ln(x) - x\big) + C \]문제 2: \( \displaystyle \int (\sin x + x^5) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
규칙 3(합의 적분)을 사용하여 다음과 같이 나타냅니다:
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \]적분 공식 모음의 공식 2.1을 사용하여 \( \int \sin x \, dx \)를 구하고, 위의 규칙 1을 사용하여 \( \int x^5 \, dx \)를 구합니다. 따라서:
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]문제 3: \( \displaystyle \int (\sinh x - 3) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
규칙 4(차의 적분)을 사용하여 다음과 같이 나타냅니다:
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \]적분 공식 모음의 공식 7.1을 사용하여 \( \int \sinh x \, dx \)를 구하고 상수 \( 3 \)의 적분을 구하면 다음과 같습니다:
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]문제 4: \( \displaystyle \int x \sin x \, dx \)를 구하세요.
풀이:
피적분 함수는 두 함수 \( x \)와 \( \sin x \)의 곱입니다. 부분적분법(규칙 6)을 사용합니다:
\( f(x) = x \) 및 \( g'(x) = \sin x \)라 하면 \( f'(x) = 1 \)이고 \( g(x) = -\cos x \)입니다.
그러면 다음이 성립합니다:
\[ \int x \sin x \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx = -x \cos x - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]적분 공식 모음의 공식 2.2를 사용하여 \( \int \cos x \, dx \)를 구하면 다음과 같습니다:
\[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + c \]문제 5: \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \cos(x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( u = \sin x \)라 하면 \( du = \cos x \, dx \)입니다. 따라서 주어진 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \]규칙 1을 사용하여 다음과 같이 나타냅니다:
\[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \]\( u = \sin x \)를 다시 대입합니다:
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]