거듭제곱 낮추기 공식을 사용하여 \( \sin(x) \)의 짝수 거듭제곱을 포함하는 적분을 구하는 튜토리얼입니다. 정답이 포함된 연습문제는 페이지 하단에 있습니다. 사인의 홀수 거듭제곱 적분은 훨씬 더 간단합니다.
이후 설명에서 \( C \)는 적분상수를 나타냅니다.
거듭제곱 낮추기 공식 복습
\( n \)이 양의 정수일 때, \( \sin(x) \)의 거듭제곱을 낮추는 데 사용할 수 있는 다음과 같은 삼각함수 공식들이 있습니다:
- (a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
- (b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
- (c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
- (d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
- (e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
상세한 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 상세한 단계별 풀이를 확인하세요.
예제 1: \( \displaystyle \int \sin^2(x) \, dx \)를 구하세요.
예제 1 풀이:
핵심 아이디어는 항등식 \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)를 사용하여 거듭제곱을 낮추고 적분을 쉽게 계산하는 것입니다:
\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}\int 1 \, dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]예제 2: \( \displaystyle \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \)를 구하세요.
예제 2 풀이:
거듭제곱 낮추기 공식을 사용하여 적분식을 다시 씁니다:
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \] \[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [-9 + 14\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \left( -9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x) \right) + C \]연습문제
다음 적분을 구하세요. 각 연습문제를 클릭하면 단계별 풀이가 표시됩니다.
연습문제 (a): \( \displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( \sin^6(x) \)와 \( \sin^2(x) \)에 거듭제곱 낮추기 공식을 대입합니다:
\[ 8 \cdot \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - 2 \cdot \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{4}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - (1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{5}{2} - \dfrac{15}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) - 1 + \cos(2x) \] \[ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{11}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) \]항별로 적분하면 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \]연습문제 (b): \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( \sin^4(x) \)와 \( \sin^2(x) \)에 거듭제곱 낮추기 공식을 대입합니다:
\[ 4 \cdot \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}[3 - 4\cos(2x) + \cos(4x) + 1 - \cos(2x)] = \dfrac{1}{2}[4 - 5\cos(2x) + \cos(4x)] \] \[ = 2 - \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \]항별로 적분하면 다음과 같습니다:
\[ 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \]