\( \sin(x) \)의 홀수 거듭제곱을 포함하는 적분을 구하는 튜토리얼입니다. 정답이 포함된 연습문제는 페이지 하단에 있습니다. 사인의 짝수 거듭제곱 적분은 일반적으로 더 복잡하며 거듭제곱 낮추기 공식을 필요로 합니다.
이후 설명에서 \( C \)는 적분상수를 나타냅니다.
상세한 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 상세한 단계별 풀이를 확인하세요.
예제 1: \( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx \)를 구하세요.
예제 1 풀이:
핵심 아이디어는 \( \sin(x) \)의 거듭제곱을 차수가 1인 항과 짝수 거듭제곱을 가진 항의 곱으로 다시 쓰는 것입니다:
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]따라서 주어진 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \]삼각함수 항등식 \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \)를 사용하여 다음과 같이 나타냅니다:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \]\( u = \cos(x) \)라 하면 \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) 또는 \( -du = \sin(x) \, dx \)가 됩니다. 적분에 대입합니다:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - 1) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - u + C \]\( u = \cos(x) \)를 다시 대입합니다:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]예제 2: \( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx \)를 구하세요.
예제 2 풀이:
\( \sin^5(x) \)를 \( \sin^4(x) \sin(x) \)로 변형합니다. 따라서 적분은 다음과 같이 됩니다:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \]항등식 \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \)을 사용하여 \( \sin^4(x) \)를 \( \cos(x) \)의 거듭제곱으로 나타냅니다:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \]\( u = \cos(x) \)라 하면 \( du = -\sin(x) \, dx \) 또는 \( -du = \sin(x) \, dx \)가 됩니다. 적분에 대입합니다:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \]우변의 적분을 전개하고 계산합니다:
\[ = - \int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = - \left( u - \dfrac{2}{3}u^3 + \dfrac{1}{5}u^5 \right) + C = -\dfrac{1}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 - u + C \]\( u = \cos(x) \)를 다시 대입합니다:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = -\left(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)\right) + C \]연습문제
다음 적분을 구하세요. 각 연습문제를 클릭하면 단계별 풀이가 표시됩니다.
연습문제 1: \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( \int \sin^6(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^3 \sin(x) \, dx \)로 변형합니다.
\( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \)라 합니다:
\[ = -\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) \, du = - \left( u - u^3 + \dfrac{3}{5}u^5 - \dfrac{1}{7}u^7 \right) + C \]\( u = \cos(x) \)를 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \]연습문제 2: \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( \int \sin^8(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^4 \sin(x) \, dx \)로 변형합니다.
\( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \)라 합니다:
\[ = -\int (1 - 4u^2 + 6u^4 - 4u^6 + u^8) \, du \] \[ = - \left( u - \dfrac{4}{3}u^3 + \dfrac{6}{5}u^5 - \dfrac{4}{7}u^7 + \dfrac{1}{9}u^9 \right) + C \]\( u = \cos(x) \)를 다시 대입하고 내림차순으로 정리합니다:
\[ = -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]