x축 주위의 디스크 법을 사용하여 원뿔대의 부피를 구합니다.
이하에서 \( C \)는 적분 상수를 나타냅니다.
원뿔대 부피 공식
문제: 아래 그림과 같이 높이가 \( h \)이고 반지름이 각각 \( r \)과 \( R \)인 원뿔대의 부피를 구합니다.
문제 풀이:
원뿔대는 아래와 같이 \( x = a \)와 \( x = b \) 사이의 \( y = mx \)를 x축 주위로 회전시켜 얻을 수 있습니다. 이때 높이 \( h = b - a \)입니다.
반지름이 \( y \) (따라서 단면적이 \( \pi y^2 \))이고 두께가 \( dx \)인 디스크(빨간색)를 회전시키면, 원뿔대의 부피 \( V \)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ V = \int_a^b \pi y^2 \, dx \quad (I) \]기울기 \( m \)은 다음과 같이 주어집니다:
\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]여기서 \( h \)는 원뿔대의 높이로 다음과 같습니다:
\[ h = b - a \]식 (I)에서 \( y \)를 \( mx \)로 대치하고 다음과 같이 씁니다:
\[ V = m^2 \pi \int_a^b x^2 \, dx \]적분을 계산합니다:
\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \] \[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]다음 사항을 참고하세요:
\[ r = m a \quad \text{and} \quad R = m b \]따라서:
\[ a = \dfrac{r}{m} \quad \text{and} \quad b = \dfrac{R}{m} \]이 값들을 식 (II)에 대입합니다:
\[ V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]간단히 정리합니다:
\[ V = \dfrac{1}{3 m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]위 식에서 \( m \)을 \( \dfrac{R - r}{h} \)로 대체하고 다시 씁니다:
\[ V = \dfrac{\pi h}{3} \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R - r} \quad (III) \]두 변수 다항식의 인수분해 및 나누기를 사용하면 \( \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} \)는 다음과 같이 간단히 정리됩니다:
\[ \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} = R^2 + rR + r^2 \]위 식을 식 (III)에 대입하여 원뿔대의 최종 부피 공식을 얻습니다:
\[ \Large \displaystyle \boxed{V = \dfrac{\pi h}{3} \left(R^2 + rR + r^2\right)} \]