회전체 소개
곡선으로 둘러싸인 영역을 x축이나 y축 주위로 회전시켜 생성된 회전체의 부피를 구하는 방법을 배웁니다. 이 튜토리얼은 정적분을 사용하며, 공식, 시각적 그림, 단계별 연습문제를 포함하여 (속이 꽉 찬 도형을 위한) 디스크 법과 (중심이 비어 있는 도형을 위한) 와셔 법을 모두 다룹니다.
이하에서 \( C \)는 적분 상수를 나타냅니다.
부피 공식
공식 1: 디스크 법 (x축 주위)
구간 \( [x_1 , x_2] \)의 모든 \( x \)에 대해 \( f(x) \geq 0 \)인 함수 \( f \)가 주어졌을 때, \( f \)의 그래프, x축(\( y = 0 \)), 그리고 두 수직선 \( x = x_1 \)과 \( x = x_2 \)로 둘러싸인 영역을 x축 주위로 회전시켜 생성된 회전체의 부피는 다음과 같습니다:
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)]^2 \, dx \]
공식 2: 와셔 법 (x축 주위)
구간 \( [x_1 , x_2] \)의 모든 \( x \)에 대해 \( f(x) \geq h(x) \)인 함수 \( f \)와 \( h \)가 주어졌을 때, \( f \)와 \( h \)의 그래프로 둘러싸인 영역을 x축 주위로 회전시켜 생성된 회전체의 부피는 다음과 같습니다:
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)^2 - h(x)^2] \, dx \]
공식 3: 디스크 법 (y축 주위)
구간 \( [y_1 , y_2] \)의 모든 \( y \)에 대해 \( x = z(y) \)이고 \( z(y) \geq 0 \)인 \( z \)가 \( y \)의 함수일 때, \( z \), y축(\( x = 0 \)), 그리고 두 수평선 \( y = y_1 \)과 \( y = y_2 \)로 둘러싸인 영역을 y축 주위로 회전시켜 생성된 부피는 다음과 같습니다:
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)]^2 \, dy \]
공식 4: 와셔 법 (y축 주위)
구간 \( [y_1 , y_2] \)의 모든 \( y \)에 대해 \( z(y) \geq w(y) \)인 \( z \)와 \( w \)가 \( y \)의 함수일 때, \( z \)와 \( w \)로 둘러싸인 영역을 y축 주위로 회전시켜 생성된 부피는 다음과 같습니다:
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)^2 - w(y)^2] \, dy \]
상세 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하면 자세한 단계별 풀이를 확인할 수 있습니다.
예제 1
\( y = x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), 및 \( x = 2 \)의 그래프로 둘러싸인 영역을 x축 주위로 회전시켜 생성된 고체의 부피를 구합니다.
풀이 보기
방법 1: 기하학적 공식
\( y = x \)는 삼각형을 형성하므로, 이를 회전시키면 반지름이 2이고 높이가 2인 직원뿔이 생성됩니다. 기하학적 공식을 사용하면:
\[ \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi (\text{radius})^2 (\text{height}) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (2) = \frac{8\pi}{3} \]방법 2: 정적분 (디스크 법)
\( f(x) = x \)라고 합시다. 공식 1을 사용하여 0부터 2까지의 정적분으로 부피를 구합니다:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi x^2 \, dx = \left[ \pi \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8\pi}{3} \]예제 2
반지름이 \( r > 0 \)일 때, 반원 \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \)을 x축 주위로 회전시켜 생성된 고체의 부피를 구합니다.
풀이 보기
\( y = \sqrt{r^2 - x^2} \)의 그래프는 \( x = -r \)부터 \( x = r \)까지 정의됩니다. 부피는 디스크 법(공식 1)에 의해 주어집니다:
\[ \text{Volume} = \int_{-r}^{r} \pi \left(\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 \, dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) \, dx \]부정적분을 구하고 적분 구간의 값을 대입합니다:
\[ = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^r \] \[ = \pi \left[ \left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi r^3 \]이것이 잘 알려진 구의 부피 공식입니다!
예제 3
\( y = x \), \( y = -x + 2 \), 및 x축으로 둘러싸인 빗금 친 영역을 y축 주위로 회전시켜 생성된 고체의 부피를 구합니다.
풀이 보기
y축 주위로 회전시키므로, 방정식을 \( y \)에 대한 함수(\( x = z(y) \))로 다시 작성해야 합니다. y축을 따라 적분하는 범위는 \( y = 0 \)부터 \( y = 1 \)까지(두 직선이 만나는 곳)입니다.
오른쪽 곡선은 \( y = -x + 2 \implies x = 2 - y \)입니다.
왼쪽 곡선은 \( y = x \implies x = y \)입니다.
와셔 법(공식 4)을 사용합니다:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} \pi [ (2-y)^2 - y^2 ] \, dy \]이항식을 전개하고 피적분 함수를 정리합니다:
\[ = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y + y^2 - y^2 ] \, dy = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y ] \, dy \]적분하고 값을 대입합니다:
\[ = \pi \left[ 4y - 2y^2 \right]_0^1 = \pi (4 - 2) = 2\pi \]예제 4
\( x = 0 \)부터 \( x = 2 \)까지 곡선 \( y = 1 + x^2 \)과 \( y = \sqrt{x} \)로 둘러싸인 영역을 x축 주위로 회전시켜 생성된 고체의 부피를 구합니다.
풀이 보기
x축을 따라 와셔 법(공식 2)을 사용합니다. \( f(x) = 1 + x^2 \) (바깥쪽 반지름)과 \( h(x) = \sqrt{x} \) (안쪽 반지름)이라고 합시다.
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \] \[ = \int_{0}^{2} \pi \left( (1+x^2)^2 - (\sqrt{x})^2 \right) \, dx \]제곱을 전개합니다:
\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1 + 2x^2 + x^4 - x ) \, dx \]거듭제곱 법칙을 사용하여 적분합니다:
\[ = \pi \left[ x + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \]\( x = 2 \)일 때의 값을 대입합니다:
\[ = \pi \left( 2 + \frac{16}{3} + \frac{32}{5} - 2 \right) = \frac{176\pi}{15} \]예제 5
중심이 \( (0, R) \)이고 반지름이 \( r \)인 원을 x축 주위로 회전시켜 생성된 토러스(도넛 모양)의 부피를 구합니다.
풀이 보기
원의 방정식은 \( x^2 + (y - R)^2 = r^2 \)로 주어집니다.
이 방정식을 \( y \)에 대해 풀어서 원의 위쪽 반원과 아래쪽 반원을 구합니다:
- 위쪽 반원: \( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \)
- 아래쪽 반원: \( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \)
y축에 대한 대칭성을 이용해 \( x = 0 \)부터 \( x = r \)까지 적분한 뒤 그 결과에 2를 곱하면 전체 부피를 구할 수 있습니다. 와셔 법(공식 2)을 사용합니다:
\[ \frac{1}{2} \text{Volume} = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 \right] \, dx \]제곱을 전개하고 빼면 \( R^2 \) 및 \( (r^2 - x^2) \) 항들이 상쇄되고 다음만 남습니다:
\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx \]\( \sqrt{r^2 - x^2} \)의 적분은 4분원의 넓이를 산출하며, 이는 표준 삼각치환 규칙을 사용하여 풀 수 있습니다:
\[ = 4 R \pi \left( \frac{1}{2} \right) \left[ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arcsin\left(\frac{x}{r}\right) \right]_0^r \] \[ = 2 R \pi \left( r^2 \arcsin(1) - 0 \right) = 2 R \pi \left( r^2 \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 R r^2 \]이것은 토러스의 절반에 불과하므로, 총 부피는 위 결과의 두 배입니다:
\[ \text{Volume} = 2 \pi^2 R r^2 \](참고: 수학적 정확성을 위해 아크사인(arcsin) 항에 대한 기존 미적분 유도 과정의 사소한 오탈자가 여기서 수정되었습니다.)
연습문제
각 연습문제를 클릭하면 단계별 풀이가 나타납니다.
연습문제 1
구간 \( [0, 1] \)에서 \( f(x) = x^2 + 2 \)와 \( h(x) = x \)의 그래프 사이의 영역을 x축 주위로 회전시킬 때 생성되는 고체의 부피를 구합니다.
풀이 보기
x축 주위의 와셔 법을 사용합니다:
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2)^2 - (x)^2 \right] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 4x^2 + 4 - x^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 3x^2 + 4) \, dx \]적분하고 구간 대입하기:
\[ = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + x^3 + 4x \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{5} + 1 + 4 \right) = \frac{26\pi}{5} \]연습문제 2
곡선 \( y = x^3 \)과 \( y = x^2 \)으로 둘러싸인 유한 영역을 y축 주위로 회전시킬 때 생성되는 부피를 구합니다.
풀이 보기
먼저 \( x^3 = x^2 \)를 놓아 교점을 찾습니다. 두 곡선은 \( x = 0 \)과 \( x = 1 \)에서 교차하며, 이는 각각 \( y = 0 \)과 \( y = 1 \)에 해당합니다.
y축 주위로 회전하므로 \( x \)를 \( y \)에 대한 함수로 표현해야 합니다. 구간 \( y \in [0, 1] \)에서 \( y = x^3 \implies x = y^{1/3} \)이 바깥쪽 반지름이고, \( y = x^2 \implies x = y^{1/2} \)가 안쪽 반지름입니다.
y축 주위의 와셔 법을 사용합니다:
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (y^{1/3})^2 - (y^{1/2})^2 \right] \, dy = \pi \int_{0}^{1} (y^{2/3} - y) \, dy \]적분하고 계산하기:
\[ = \pi \left[ \frac{3}{5}y^{5/3} - \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{10} \]