정적분과 적분이 회전축에 수직인 원통 껍질 법을 사용하여 함수의 그래프로 둘러싸인 영역을 축 중 하나를 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 부피를 구합니다. 페이지 하단에는 정답이 포함된 연습문제가 제시되어 있습니다.
이하에서 \( C \)는 적분 상수를 나타냅니다.
공식 - 원통 껍질 법
구간 \( [x_1, x_2] \)의 모든 \( x \)에 대하여 \( f(x) \geq 0 \)인 함수 \( f \)가 주어졌을 때, \( f \)의 그래프, \( x \)축(\( y = 0 \)), 그리고 두 수직선 \( x = x_1 \)과 \( x = x_2 \)로 둘러싸인 영역을 \( y \)축 주위로 회전하여 생성된 고체의 부피는 다음 적분으로 주어집니다:
\[ \Large \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) \, dx \]
구간 \( [y_1, y_2] \)의 모든 \( y \)에 대하여 \( g(y) \geq 0 \)인 함수 \( g \)가 주어졌을 때, \( g \)의 그래프, \( y \)축(\( x = 0 \)), 그리고 두 수평선 \( y = y_1 \)과 \( y = y_2 \)로 둘러싸인 영역을 \( x \)축 주위로 회전하여 생성된 고체의 부피는 다음 적분으로 주어집니다:
\[ \Large \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} 2\pi y g(y) \, dy \]상세 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하면 자세한 단계별 풀이를 확인할 수 있습니다.
예제 1: 삼각형을 \( y \)축 주위로 회전시켜 생성된 고체의 부피
예제 1의 풀이:
이 문제는 회전체의 부피에서 원판(와셔) 법을 사용하여 이미 해결되었습니다. 이제 원통 껍질 법을 사용하여 풀어봅시다.
회전할 영역은 \( x = 0 \), \( y = 0 \), 그리고 교점이 \( (1, 1) \)인 두 곡선 \( y = x \)와 \( y = -x + 2 \)로 둘러싸여 있습니다. 따라서 적분을 두 부분으로 나눕니다:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} 2\pi x(x) \, dx + \int_{1}^{2} 2\pi x(-x + 2) \, dx \]적분하기:
\[ = 2\pi \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 + 2\pi \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2\right]_1^2 \]값 대입하여 계산하기:
\[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\left(-\dfrac{8}{3} + 4\right) - \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right)\right] \] \[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3}\right] = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi}{3} = 2\pi \]예제 2: 제1사분면의 3차 곡선 영역에 의해 생성된 부피
예제 2의 풀이:
\( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \)와 \( y = -x + 1 \)의 그래프는 다음과 같습니다.
\( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \)의 \( x \) 절편은 다음 방정식을 풀어 찾을 수 있습니다:
\[ -x^3 + 2x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2(-x + 2) + 1(-x + 2) = 0 \implies (-x + 2)(x^2 + 1) = 0 \]이로부터 \( x = 2 \)를 얻습니다. \( y = -x + 1 \)의 \( x \) 절편은 \( x = 1 \)입니다.
\( x = 0 \)부터 \( x = 1 \)까지 영역은 위쪽이 \( f(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \)로, 아래쪽이 \( h(x) = -x + 1 \)로 둘러싸여 있습니다. 부피 \( V_1 \)은 다음과 같습니다:
\[ V_1 = \int_{0}^{1} 2\pi x (f(x) - h(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2 - (-x + 1)) \, dx \] \[ = 2\pi \int_{0}^{1} (-x^4 + 2x^3 + x) \, dx = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{8\pi}{5} \]\( x = 1 \)부터 \( x = 2 \)까지 영역은 위쪽이 \( f(x) \)로, 아래쪽이 \( y = 0 \)으로 둘러싸여 있습니다. 부피 \( V_2 \)는 다음과 같습니다:
\[ V_2 = \int_{1}^{2} 2\pi x f(x) \, dx = 2\pi \int_{1}^{2} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2) \, dx \] \[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^2 = \dfrac{59\pi}{15} \]총 부피 \( V = V_1 + V_2 = \dfrac{8\pi}{5} + \dfrac{59\pi}{15} = \dfrac{83\pi}{15} \).
예제 3: 싸인 곡선 영역에 의해 \( y \)축 주위로 생성된 부피
예제 3의 풀이:
\( 0 \leq x \leq 2\pi \) 및 \( a \geq 1 \)일 때, \( y = 0 \), \( x = 0 \), 그리고 \( y = a + \sin(x) \)로 둘러싸인 영역을 \( y \)축 주위로 회전시킨 부피의 공식을 구합니다:
\[ V = \int_{0}^{2\pi} 2\pi x (a + \sin(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2\pi} ax \, dx + 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin(x) \, dx \]첫 번째 적분 \( I_1 \) 계산하기:
\[ I_1 = 2\pi a \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 4\pi^3 a \]부분적분법(\( u = x \), \( dv = \sin(x) \, dx \))을 사용하여 두 번째 적분 \( I_2 \) 계산하기:
\[ I_2 = 2\pi \left[ -x \cos(x) \right]_0^{2\pi} + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx = -4\pi^2 + 0 = -4\pi^2 \]총 부피: \( V = I_1 + I_2 = 4\pi^3 a - 4\pi^2 \).
예제 4: 제1사분면의 타원에 의해 \( x \)축 주위로 생성된 부피
예제 4의 풀이:
원통 껍질 법을 사용하여 제1사분면에서 \( y = 0 \), \( x = 0 \), 및 \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \)로 둘러싸인 영역을 \( x \)축 주위로 회전시켜 생성된 고체의 부피 공식을 구합니다 (\( a, b > 0 \)).
\( x \)에 대해 풀기: \( x = a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \).
회전축이 \( x \)축이므로 껍질은 \( x \)축과 평행합니다:
\[ V = \int_{0}^{b} 2\pi y \left( a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \right) dy \]치환적분 \( u = 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \)을 사용하고 계산하면 다음을 얻습니다:
\[ V = \dfrac{2\pi a b^2}{3} \]연습문제
다음 적분을 계산하세요. 각 연습문제를 클릭하면 단계별 풀이가 나타납니다.
연습문제 1: 제1사분면에 있는 \( f(x) = -x^4 + 3x^3 - x + 3 \) 그래프의 일부를 \( y \)축 주위로 회전시킬 때 생성되는 고체의 부피를 구하세요.
풀이:
\( -x^4 + 3x^3 - x + 3 = 0 \implies x^3(3 - x) + 1(3 - x) = (x^3 + 1)(3 - x) = 0 \implies x = 3 \) (제1사분면에서)을 풀어 \( x \) 절편을 찾습니다.
\( x = 0 \)부터 \( x = 3 \)까지 원통 껍질 법 공식 사용하기:
\[ V = \int_{0}^{3} 2\pi x (-x^4 + 3x^3 - x + 3) \, dx = 2\pi \int_{0}^{3} (-x^5 + 3x^4 - x^2 + 3x) \, dx \]항별로 적분하기:
\[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^6}{6} + \dfrac{3x^5}{5} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} \right]_0^3 = \dfrac{288\pi}{5} \]