일차도함수 및 이차도함수 정리

정리 1 - 정점

함수 \( f \)가 \( x = a \)에서 상대 극소 또는 극대를 가준다면, \( f'(a) = 0 \) (정점)이거나 \( f'(a) \)가 존재하지 않습니다.

예를 들어, 함수 \( f \)와 그 도함수 \( f' \)의 그래프가 위에 나와 있습니다. \( f \)의 극대(\( x = 2 \))와 극소(\( x = -2 \))에서 \( f' = 0 \)입니다.

정리 2 - 일차도함수 판정법

함수 \( f \)는 연속 함수라고 가정합니다.

• 2.a - \( x = a \)에서 \( f'(a) = 0 \)이거나 \( f'(x) \)가 존재하지 않고, \( a \)의 왼쪽에서 \( f'(x) < 0 \)이고 오른쪽에서 \( f'(x) > 0 \)이면, \( f \)는 \( x = a \)에서 상대 극소를 가집니다.
• 2.b - \( x = a \)에서 \( f'(a) = 0 \)이거나 \( f'(x) \)가 존재하지 않고, \( a \)의 왼쪽에서 \( f'(x) > 0 \)이고 오른쪽에서 \( f'(x) < 0 \)이면, \( f \)는 \( x = a \)에서 상대 극대를 가집니다.

2.a와 2.b 모두 위의 그림 1의 그래프를 사용하여 명확하게 확인할 수 있습니다.

• 2.c - \( x = a \)의 왼쪽과 오른쪽에서 \( f'(a) \)의 부호가 같다면, \( f \)는 극소나 극대를 가지지 않습니다.

아래의 그림 2는 극소나 극대를 가지지 않으며 첫 번째 도함수의 부호가 변하지 않는 함수 \( f \)의 그래프를 보여줍니다.

정리 3 - 일차 및 이차도함수 판정법

\( x = a \)에서 \( f' \)와 \( f'' \)가 모두 존재하고 \( f'(a) = 0 \) (정점)이라고 가정합니다.

• 3.a - 만약 \( f''(a) > 0 \)이면, \( f \)는 \( x = a \)에서 상대 극소를 가집니다.
• 3.b - 만약 \( f''(a) < 0 \)이면, \( f \)는 \( x = a \)에서 상대 극대를 가집니다.
• 3.c - 만약 \( f''(a) = 0 \)이면, 결론을 내릴 수 없습니다; 위의 정리 2를 사용하십시오.

다음은 함수 \( f \), 그 일차도함수 \( f' \), 그리고 이차도함수 \( f'' \)의 그래프입니다. 다음을 쉽게 확인할 수 있습니다:

1. \( f'(-2) = 0 \)이고 \( f''(-2) < 0 \)인 점(\( x = -2 \))에서 \( f \)는 상대 극대를 가집니다.
2. \( f'(2) = 0 \)이고 \( f''(2) > 0 \)인 점(\( x = 2 \))에서 \( f \)는 상대 극소를 가집니다.