일차도함수를 사용하여 직각삼각형에 내접하는 직사각형의 넓이를 극대화합니다. 문제와 상세한 풀이가 아래에 제시되어 있습니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
풀이가 포함된 문제
BDEF는 변의 길이가 각각 40과 30인 직각삼각형 ABC에 내접하는 직사각형입니다. 넓이가 최대가 되도록 하는 직사각형 BDEF의 가로와 세로 길이를 구하세요.
문제 풀이 보기
직사각형의 길이 BF를 \( y \), 너비 BD를 \( x \)라고 합시다. 직각삼각형의 넓이는 다음과 같습니다:
\[ \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \]직각삼각형의 넓이는 또한 (직사각형에 의해 분할된) 삼각형 BEC와 삼각형 BEA의 넓이의 합으로도 계산할 수 있습니다. 따라서:
\[ 600 = \frac{1}{2} \times 40 \times y + \frac{1}{2} \times 30 \times x \]직사각형의 넓이를 \( A \)라고 합시다. 따라서:
\[ A = y \times x \]이제 첫 번째 방정식을 사용하여 \( x \)에 대한 식으로 \( y \)를 나타냅니다:
\[ y = \frac{600 - 15x}{20} \]\( y \)를 \( A \)에 대입하여 넓이를 \( x \)에 대한 함수로 얻습니다:
\[ A(x) = \frac{x(600 - 15x)}{20} \]\( A(x) \)를 전개하면 \( A(x) \)가 음의 최고차항 계수를 갖는 이차 함수이며, 따라서 최댓값을 가짐을 알 수 있습니다:
\[ A(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 30x \]\( x \)에 대한 함수로서의 \( A(x) \) 그래프는 아래와 같습니다. 아래에서 분석적으로 검증되듯이, \( A(x) \)는 \( x = 20 \)일 때 최댓값을 가집니다:
이제 \( A(x) \)의 일차도함수를 계산합니다:
\[ A'(x) = -\frac{3}{2}x + 30 \]\( A'(x) = 0 \)으로 놓고 \( x \)를 구합니다:
\[ -\frac{3}{2}x + 30 = 0 \implies x = 20 \]\( x < 20 \)일 때 \( A'(x) \)가 양수이고 \( x > 20 \)일 때 음수임을 쉽게 확인할 수 있으며, 이는 \( A(x) \)가 \( x = 20 \)에서 최댓값을 가짐을 확인시켜 줍니다.
최대 넓이는 \( A(20) \)으로 주어집니다:
\[ A(20) = -\frac{3}{4} \times 20^2 + 30 \times 20 = 300 \]이제 넓이 공식을 사용하여 \( y \)를 구합니다:
\[ A = 300 = x \times y \implies y = \frac{300}{20} = 15 \]결론: 넓이를 극대화하는 직사각형의 치수는 \( x = 20 \) 및 \( y = 15 \)입니다.