미적분학에서 일차도함수와 이차도함수를 사용하여 함수의 그래프 성질을 연구하는 방법에 대한 튜토리얼입니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
정리
미적분학에서 함수를 그래프로 나타내기 위해 먼저 몇 가지 정리를 검토합니다. 최댓값과 최솟값을 찾기 위해 세 가지 정리가 일차도함수와 이차도함수를 사용하여 사용되며, 완전한 함수 그래프를 연구하기 위해 두 개의 추가 정리와 결합됩니다.
정리 4: 만약 \( f \)가 구간 \( [I_1, I_2] \)에서 정의되고 구간 \( (I_1, I_2) \)에서 미분 가능하다면:
- 4.a: 만약 \( (I_1, I_2) \)에서 \( f'(x) > 0 \)이면, \( f \)는 \( [I_1, I_2] \)에서 증가합니다.
- 4.b: 만약 \( (I_1, I_2) \)에서 \( f'(x) < 0 \)이면, \( f \)는 \( [I_1, I_2] \)에서 감소합니다.
- 4.c: 만약 \( (I_1, I_2) \)에서 \( f'(x) = 0 \)이면, \( f \)는 \( [I_1, I_2] \)에서 상수입니다.
정리 5: 만약 \( f \)가 구간 \( (I_1, I_2) \)에서 두 번 미분 가능하다면:
- 5.a: 만약 \( (I_1, I_2) \)에서 \( f''(x) > 0 \)이면, \( f \)는 \( [I_1, I_2] \)에서 아래로 볼록(위로 오목)합니다.
- 5.b: 만약 \( (I_1, I_2) \)에서 \( f''(x) < 0 \)이면, \( f \)는 \( [I_1, I_2] \)에서 위로 볼록(아래로 오목)합니다.
상세한 풀이가 포함된 예제
"일차도함수와 이차도함수 사용하기"의 정리와 위의 정리 4 및 5를 사용하여 함수를 그래프로 나타내는 예제를 제시합니다.
각 단계별 곡선 스케치 가이드를 보려면 각 풀이 상자를 클릭하세요.
예제 1
일차도함수 및 이차도함수 정리를 사용하여 다음으로 정의된 함수 \( f \)의 그래프를 그리세요:
\[ f(x) = x^2 \]예제 1 풀이 보기
1단계: 일차도함수, 정점, 그리고 증가/감소 구간을 결정하기 위한 \( f'(x) \)의 부호를 구합니다.
\[ f'(x) = 2x \]정점은 \( f'(x) = 2x = 0 \)의 해이며, \( x = 0 \)을 얻습니다.
\( f'(x) \)는 \( (-\infty, 0) \)에서 음수이므로, \( f \)는 그 구간에서 감소합니다(정리 4.b). \( f'(x) \)는 \( (0, +\infty) \)에서 양수이므로, \( f \)는 그 구간에서 증가합니다(정리 4.a). 정리 2에 의해, \( f \)는 \( x = 0 \)에서 최솟값을 가집니다.
2단계: 이차도함수, 그 부호, 그리고 오목성 정보를 구합니다.
\[ f''(x) = 2 \quad (\text{항상 양수}) \]\( f''(0) = 2 > 0 \)이므로 \( x = 0 \)에서 최솟값임이 확인됩니다. 그래프는 \( (-\infty, +\infty) \)에서 아래로 볼록합니다(정리 5.a).
3단계: 절편과 극값을 구합니다.
\( y \)절편: \( f(0) = 0 \). \( x \)절편: \( x^2 = 0 \implies x = 0 \).
최솟값 점은 \( (0, 0) \)에 있습니다.
4단계: 그래프를 스케치합니다.
\( x \to \pm\infty \)일 때, \( f(x) = x^2 \to +\infty \)입니다.
예제 2
일차도함수 및 이차도함수 정리를 사용하여 다음으로 정의된 함수 \( f \)의 그래프를 그리세요:
\[ f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \]예제 2 풀이 보기
1단계: 일차도함수와 정점.
\[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 \]\( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \)을 풀면 임계점 \( x = 2 \)와 \( x = \dfrac{2}{3} \)가 나옵니다.
2단계: 이차도함수와 변곡점.
\[ f''(x) = 6x - 8 \]\( 6x - 8 = 0 \)을 풀면 오목성이 바뀌는 지점(변곡점)인 \( x = \dfrac{4}{3} \)가 나옵니다.
3단계: 절편과 양 끝에서의 거동.
\( y \)절편: \( f(0) = 0 \).
\( x \)절편: 인수분해하면 \( x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2 = 0 \), 즉 \( x = 0 \) 및 \( x = 2 \) (중복도 2)가 됩니다.
\( x \to +\infty \)일 때, \( f(x) \to +\infty \)입니다. \( x \to -\infty \)일 때, \( f(x) \to -\infty \)입니다.
4단계: 부호표와 그래프.
