일차도함수를 사용하여 삼각형에 내접하는 직사각형의 넓이를 극대화합니다. 이 최적화 문제와 상세한 풀이가 아래에 제시되어 있습니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
OAB는 꼭짓점이 주어진 삼각형입니다. 한 변이 삼각형의 변 OA 위에 놓이도록 삼각형 내부에 내접하는 직사각형 중 넓이가 최대가 되는 직사각형의 치수를 구하세요.
문제 풀이 보기
아래 그림에서 너비가 \( W \)이고 길이가 \( L \)인 직사각형이 삼각형 내부에 내접해 있으며, 위쪽 꼭짓점들은 삼각형의 변 위에 놓여 있습니다. 먼저 \( x \)에 대해서만 표현된 직사각형의 넓이 공식을 구합니다.
OB를 지나는 직선의 기울기 \( m_1 \)은 다음과 같이 주어집니다:
\[ m_1 = \frac{12 - 0}{6 - 0} = 2 \]직사각형의 왼쪽 위 꼭짓점의 좌표를 \( (x, y) \)라고 합시다. 따라서:
\[ m_1 = 2 = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x} \]그러므로 직사각형의 너비 \( W \)는 다음과 같습니다:
\[ W = y = 2x \]AB를 지나는 직선(\( (6, 12) \)에서 \( (10, 0) \)까지)의 기울기 \( m_2 \)는 다음과 같습니다:
\[ m_2 = \frac{0 - 12}{10 - 6} = \frac{-12}{4} = -3 \]직사각형의 오른쪽 위 꼭짓점의 좌표가 \( (x + L, y) \)인 경우, 이 점은 \( (10, 0) \)을 지나는 직선 AB 위에 놓입니다:
\[ m_2 = -3 = \frac{y - 0}{(x + L) - 10} \]\( y \)에 대해 풉니다:
\[ y = -3(x + L - 10) = -3(x + L) + 30 \]\( y = W = 2x \)이므로, \( y \)에 대한 두 식을 서로 같습니다:
\[ 2x = -3(x + L) + 30 \]\( L \)에 대해 풉니다:
\[ 2x = -3x - 3L + 30 \implies 3L = 30 - 5x \implies L = 10 - \frac{5}{3}x \]직사각형의 넓이 \( A \)는 다음과 같습니다:
\[ A = W \cdot L = 2x \left(10 - \frac{5}{3}x\right) = -\frac{10}{3}x^2 + 20x \]\( A \)는 \( ax^2 + bx + c \) 형태의 \( x \)에 대한 이차 함수입니다. 최고차항 계수 \( a = -\dfrac{10}{3} \)가 음수이므로, 일차도함수 \( A'(x) \)의 임계점에서 최댓값을 가집니다.
일차도함수 계산:
\[ A'(x) = -\frac{20}{3}x + 20 \]임계점을 찾기 위해 \( A'(x) = 0 \)으로 놓습니다:
\[ -\frac{20}{3}x + 20 = 0 \implies x = 3 \]따라서 직사각형의 넓이 \( A \)는 \( x = 3 \)일 때 최댓값을 가지며, 치수는 다음과 같습니다:
- \( W = 2x = 2(3) = 6 \)
- \( L = 10 - \frac{5}{3}(3) = 10 - 5 = 5 \)
최대 넓이는 \( A = 6 \times 5 = 30 \)입니다.