원에 내접하는 삼각형의 넓이를 극대화하기 위해 첫 번째 도함수가 사용됩니다. 상세한 풀이가 포함된 최적화 문제가 아래에 제시되어 있습니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
아래 그림에서 삼각형 ABC는 중심이 O이고 반지름이 \( r \)인 원에 내접해 있습니다. 원의 반지름 \( r \)이 일정할 때, 점 B가 원을 따라 미끄러져 움직이면서 삼각형 ABC의 넓이가 변합니다. 삼각형 ABC의 넓이가 최대가 되도록 하는 변 AB와 CB의 길이를 구하세요.
문제 풀이 보기
원의 중심 O가 삼각형의 변 AC 위에 있으므로, AC는 원의 지름이며 삼각형 ABC는 직각삼각형입니다(탈레스의 정리). 직각은 B에 있고 빗변 AC의 길이는 \( 2r \)과 같습니다 (아래 그림 참조).
삼각형의 넓이 \( S \)는 다음과 같습니다:
\[ S = \frac{1}{2} AB \times CB \]각 \( t \)를 사용하여 \( AB \)와 \( CB \)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
\[ AB = AC \cos t \quad \text{and} \quad CB = AC \sin t \]\( AB \)와 \( CB \)를 넓이 공식에 대입합니다:
\[ S = \frac{1}{2} AC^2 \cos t \sin t \]삼각함수 공식 \( \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \)를 사용하여 넓이 \( S \)를 다음과 같이 표현합니다:
\[ S = \frac{1}{4} AC^2 \sin(2t) \]반지름 \( r \)이 일정하므로 지름의 길이 \( AC = 2r \) 역시 일정합니다. 따라서 점 B가 원을 따라 움직임에 따라 넓이는 각 \( t \)에만 의존합니다. \( S \)가 최대가 되는 \( t \)를 구하기 위해 \( t \)에 대한 일차도함수를 계산합니다:
\[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{4} AC^2 \cdot 2 \cos(2t) = \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) \]정점을 찾기 위해 \( \frac{dS}{dt} \)를 0으로 놓습니다:
\[ \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) = 0 \implies \cos(2t) = 0 \]점 B가 원을 따라 움직일 때, 각 \( t \)는 \( 0 \)에서 \( 90^\circ \)까지 변합니다. 구간 \( (0^\circ, 90^\circ) \)에서 \( \cos(2t) = 0 \)의 해는 다음과 같습니다:
\[ 2t = 90^\circ \implies t = 45^\circ \]\( t \)가 \( 0^\circ \)에서 \( 45^\circ \)로 변할 때, \( 2t \)는 \( 0^\circ \)에서 \( 90^\circ \)로 변하고 \( \frac{dS}{dt} \)는 양수입니다. \( t \)가 \( 45^\circ \)에서 \( 90^\circ \)로 변할 때, \( 2t \)는 \( 90^\circ \)에서 \( 180^\circ \)로 변하고 \( \frac{dS}{dt} \)는 음수입니다. 따라서 \( t = 45^\circ \)일 때 넓이 \( S \)의 최댓값 갖습니다.
\( t = 45^\circ \)일 때, 변 \( AB \)와 \( CB \)의 길이는 다음과 같습니다:
\[ AB = AC \cos(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \] \[ CB = AC \sin(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \]결론: \( t = 45^\circ \)일 때 넓이가 최대가 되며, 이는 내접하는 직각삼각형이 변의 길이가 \( AB = CB = r\sqrt{2} \)인 이등변직각삼각형임을 의미합니다.