빗변이 일정할 때, 내접원의 반지름이 최대가 되도록 하는 직각삼각형의 한 각의 크기를 찾기 위해 도함수를 사용합니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
ABC는 직각삼각형이고 \( r \)은 내접원의 반지름입니다.
a) 각 \( x \)와 빗변의 길이 \( h \)로 \( r \)을 표현하세요.
b) \( h \)가 일정하고 \( x \)가 변한다고 가정할 때, \( r \)이 최대가 되는 \( x \)를 구하세요.
문제 풀이 보기
a) M, N, P를 원과 삼각형 변들의 접점이라고 합시다. \( OM \), \( ON \), \( OP \)는 각각 \( CB \), \( CA \), \( AB \)에 수직입니다.
삼각형 COM과 CON은 직각삼각형이며 두 개의 합동인 변(\( CO \)와 반지름 \( OM = ON = r \))을 가집니다. 따라서 두 삼각형은 합동입니다. 각 \( MCN \)의 크기를 \( x \)로 표기하고 작성합니다:
\[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{r}{CM} \]삼각형 BOM과 BOP는 직각삼각형이며 두 개의 합동인 변(\( BO \)와 반지름 \( OM = OP = r \))을 가집니다. 따라서 두 삼각형은 합동입니다. 각 \( MBP \)의 크기를 \( y \)로 표기하고 작성합니다:
\[ \tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]참고로 \( y + x = 90^\circ \)이므로 \( \dfrac{y}{2} = 45^\circ - \dfrac{x}{2} \)가 됩니다.
\( BM \)에 대한 식에 \( \dfrac{y}{2} \)를 대입합니다:
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]\( CM \)과 \( BM \)에 대해 풉니다:
\[ CM = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}, \quad BM = \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} \]\( h = CM + BM \)이라는 사실을 이용합니다:
\[ h = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)} + \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} \right] \]탄젠트 차의 삼각함수 항등식을 사용합니다:
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan(45^\circ)\tan\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]이를 \( h \) 공식에 다시 대입합니다:
\[ h = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \right] \]역수항을 확인해 봅시다:
\[ \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]\( \tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} \)를 사용하여 다음과 같이 간단히 정리합니다:
\[ h = r \left[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right] = r \left[ \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)} \right] \]\( r \)에 대해 풉니다:
\[ r = h \sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right) = h \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right) \]반각 및 곱셈 공식(\( \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sin x \) 및 \( \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - \cos x}{2} \))을 사용합니다:
\[ r = \frac{h}{2} (\sin x + \cos x - 1) \]b) \( h \)가 일정하다고 가정합니다. \( x \)에 대한 \( r \)의 일차도함수를 구합니다:
\[ \frac{dr}{dx} = \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) \]임계점을 찾기 위해 \( \dfrac{dr}{dx} = 0 \)으로 놓습니다:
\[ \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) = 0 \implies \cos x = \sin x \]\( x \)가 직각삼각형의 예각이므로, \( \cos x = \sin x \)를 풀면 다음을 얻습니다:
\[ x = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
\( x < \dfrac{\pi}{4} \)일 때 \( \dfrac{dr}{dx} > 0 \)이고 \( x > \dfrac{\pi}{4} \)일 때 \( \dfrac{dr}{dx} < 0 \)이므로, \( r \)은 \( x = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ \)에서 절대최댓값을 가집니다. 이 경우 삼각형 ABC는 이등변삼각형입니다.