전자 회로에서 부하에 전달되는 전력을 극대화(최적화)하기 위해 첫 번째 도함수가 사용됩니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
아래에 표시된 전자 회로에서 전압 \( E \) (볼트, V)와 저항 \( r \) (옴, \(\Omega\))은 상수입니다. \( R \)은 부하의 저항입니다. 이러한 회로에서 전류 \( i \)는 다음과 같이 주어집니다:
\[ i = \dfrac{E}{r + R} \]그리고 부하 \( R \)에 전달되는 전력 \( P \)는 다음과 같습니다:
\[ P = R i^2 \]\( r \)과 \( R \)이 양수라고 할 때, 부하 \( R \)에 전달되는 전력 \( P \)가 최대가 되도록 하는 \( R \)을 구하세요.
문제 풀이 보기
먼저 \( i = \dfrac{E}{r + R} \)를 \( P = R i^2 \)에 대입하여 전력 \( P \)를 \( E \), \( r \), 그리고 변수 \( R \)의 함수로 표현합니다:
\[ P(R) = \frac{R E^2}{(r + R)^2} \]이제 몫의 미분법을 사용하여 변수 \( R \)에 대해 \( P \)를 미분합니다:
\[ \frac{dP}{dR} = \frac{E^2 \left[(r + R)^2 - R \cdot 2(r + R)\right]}{(r + R)^4} = \frac{E^2 \left[(r + R) - 2R\right]}{(r + R)^3} = \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} \]\( P \)가 국소 최댓값을 갖는지 확인하기 위해 \( \dfrac{dP}{dR} = 0 \)으로 놓고 \( R \)에 대해 풀어 임계점을 찾습니다:
\[ \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} = 0 \implies R = r \]\( r \)과 \( R \)은 모두 저항이므로 양수입니다. \( R < r \)일 때 \( \dfrac{dP}{dR} \)은 양수이고 \( P \)는 증가하며, \( R > r \)일 때 \( \dfrac{dP}{dR} \)은 음수이고 \( P \)는 감소합니다. 따라서 \( P \)는 \( R = r \)에서 절대최댓값을 가집니다.
최대 전력은 \( P(R) \)에 \( R = r \)을 대입하여 구합니다:
\[ P(r) = \frac{r E^2}{(r + r)^2} = \frac{r E^2}{(2r)^2} = \frac{r E^2}{4r^2} = \frac{E^2}{4r} \]따라서 전자 회로에서 부하 \( R \)로의 최대 전력 전달을 달성하려면 부하 저항 \( R \)이 내부 저항 \( r \)과 같아야 합니다.
예를 들어, \( E = 5 \) 볼트이고 \( r = 100 \) 옴일 때의 \( P(R) \) 그래프가 아래에 나와 있습니다. 이는 \( R = 100 \) 옴(\( R = r \))일 때 \( P \)가 극대화됨을 명확히 보여줍니다.
\( P(R) \)을 더 살펴보겠습니다. \( R \)이 0에 가까워지면 \( P(R) \)은 0에 가까워집니다. \( R \)이 한없이 증가하면, 수평 축이 \( P(R) \) 그래프의 수평 점근선이므로 \( P(R) \)은 0에 가까워집니다. 따라서 \( P(R) \)은 유한한 값인 \( R = r \)에서 최댓값을 달성합니다.