정사각형 밑면을 가진 사각뿔의 표면적을 최소화하기 위해 첫 번째 도함수가 사용됩니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
아래에는 밑면의 한 변의 길이가 \( x \)이고 높이가 \( h \)인 사각뿔이 나와 있습니다. 사각뿔의 부피가 \( 1000 \; \text{cm}^3 \)이고 표면적이 최소가 되도록 하는 \( x \)의 값을 구하세요.
문제 풀이 보기
이 문제는 그래프를 통해 해결된 적이 있습니다. 여기서는 일차도함수를 사용하여 더 엄밀하게 풉니다.
먼저 사각뿔의 부피 공식을 사용하여 방정식을 세웁니다:
\[ \frac{1}{3} h x^2 = 1000 \]사각뿔은 4개의 삼각형 면과 1개의 정사각형 밑면으로 이루어져 있습니다. 삼각형 면 하나의 넓이는 다음과 같습니다:
\[ s = \frac{1}{2} H x \]슬랜트 높이(모선 높이) \( H \)는 피타고라스 정리에 의해 주어집니다:
\[ H = \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \]사각뿔의 전체 표면적 \( S \)는 4개의 삼각형 넓이와 밑면 넓이 \( x^2 \)의 합입니다:
\[ S = 4\left(\frac{1}{2} H x\right) + x^2 = 2x \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2 \]부피 방정식 \( \dfrac{1}{3} h x^2 = 1000 \)을 \( h \)에 대해 풉니다:
\[ h = \frac{3000}{x^2} \]\( h \)를 표면적 공식에 대입하여 \( S \)를 \( x \)만에 대한 함수로 표현합니다:
\[ S(x) = 2x \sqrt{\left(\frac{3000}{x^2}\right)^2 + \frac{x^2}{4}} + x^2 = 2x \sqrt{\frac{9 \times 10^6}{x^4} + \frac{x^2}{4}} + x^2 \] \[ S(x) = 2x \sqrt{\frac{36 \times 10^6 + x^6}{4x^4}} + x^2 = 2x \cdot \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{2x^2} + x^2 \] \[ S(x) = \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{x} + x^2 \]상수 \( k = 36 \times 10^6 \)으로 두고 \( x \)에 대해 \( S \)를 미분합니다:
\[ \frac{dS}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}(k + x^6)^{-1/2}(6x^5) - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x \] \[ \frac{dS}{dx} = \frac{\frac{3x^6}{\sqrt{k + x^6}} - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x = \frac{3x^6 - (k + x^6)}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x \]
\( x > 0 \)일 때, \( \dfrac{dS}{dx} \)는 단 하나의 영점을 가지며, 왼쪽에서는 음수이고 오른쪽에서는 양수입니다. 이는 \( \dfrac{dS}{dx} = 0 \)으로 놓아 위치를 찾은 \( S \)의 값이 최솟값을 가짐을 확인해 줍니다:
\[ \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = 0 \implies \frac{2x^6 - k}{x^2} = -2x \sqrt{k + x^6} \]\( u = x^3 \)으로 두고 대입합니다 (따라서 \( u^2 = x^6 \)):
\[ \frac{2u^2 - k}{u^{2/3}} \quad \text{or simplifying directly:} \] \[ 2x^6 - k = -2x^3 \sqrt{k + x^6} \implies 2u^2 - k = -2u \sqrt{k + u^2} \]양변을 제곱합니다:
\[ (2u^2 - k)^2 = 4u^2(k + u^2) \implies 4u^4 + k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 + 4u^4 \] \[ k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 \implies k^2 = 8ku^2 \implies u^2 = \frac{k}{8} \]\( u > 0 \)이므로:
\[ u = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x^3 = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x = \left(\frac{k}{8}\right)^{1/6} \]\( k = 36 \times 10^6 \)을 대입합니다:
\[ x = \left(\frac{36 \times 10^6}{8}\right)^{1/6} = (4,500,000)^{1/6} \approx 16.19 \; \text{cm} \](참고: 소수점 첫째 자리로 반올림하면 \( 16.2 \; \text{cm} \)입니다.)
