두 지점 사이의 이동 거리를 최소화(최적화)하기 위해 첫 번째 도함수가 사용됩니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
아래 다이어그램은 윌슨이 매일 아침 강에서 농장으로 물을 가져오기 위해 이동하는 경로를 보여줍니다. 윌슨이 집에서 농장까지 이동하는 총 거리를 최소화하도록 도와주세요.
문제 풀이 보기
두 가지 방법으로 이 문제를 해결하는 방법을 제안합니다.
방법 1: 미적분학 (일차도함수)
아래 다이어그램에서 거리 \( d \)와 \( D \)를 구하여 더한 후, 총 거리를 최소화합니다.
총 거리 \( T \)는 다음과 같이 주어집니다:
\[ T = d + D = \sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(20 - x)^2 + 100} \]이제 \( x \)에 대한 \( T \)의 일차도함수 \( \dfrac{dT}{dx} \)를 구하고, \( T \)가 최솟값을 가지는지 확인한 뒤, \( T \)를 최소화하는 \( x \)의 값을 구합니다:
\[ \frac{dT}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]\( \dfrac{dT}{dx} \)의 그래프가 아래에 표시되어 있습니다. 대략 \( x = 6.67 \)에서 일차도함수는 0이 되며, 그 값보다 작을 때는 음수이고 그 값보다 클 때는 양수입니다. 따라서 \( T \)는 \( x = 6.67 \) 부근에서 최솟값을 가집니다.
임계값을 찾기 위해 \( \dfrac{dT}{dx} = 0 \)으로 놓습니다:
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]대각선끼리 곱합니다 (크로스 멀티플라이):
\[ x \sqrt{(20 - x)^2 + 100} = (20 - x) \sqrt{x^2 + 25} \]양변을 제곱합니다:
\[ x^2 \left((20 - x)^2 + 100\right) = (20 - x)^2 (x^2 + 25) \] \[ x^2(400 - 40x + x^2 + 100) = (400 - 40x + x^2)(x^2 + 25) \] \[ x^2(x^2 - 40x + 500) = (x^2 - 40x + 400)(x^2 + 25) \] \[ x^4 - 40x^3 + 500x^2 = x^4 + 25x^2 - 40x^3 - 1000x + 400x^2 + 10000 \] \[ 500x^2 = 425x^2 - 1000x + 10000 \implies 75x^2 + 1000x - 10000 = 0 \]이차방정식을 25로 나눕니다:
\[ 3x^2 + 40x - 400 = 0 \]근의 공식 사용하여 \( x \)를 풀고 양수 값을 선택합니다:
\[ x = \frac{-40 + \sqrt{40^2 - 4(3)(-400)}}{2(3)} = \frac{-40 + \sqrt{1600 + 4800}}{6} = \frac{-40 + \sqrt{6400}}{6} = \frac{-40 + 80}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]방법 2: 기하학적 투영
강 건너편에 "가상 집(대칭점)" \( H \)를 구성합니다. 총 거리 \( d + D \)가 최소가 되려면, 두 점 사이의 최단 거리가 직선이므로 점 \( H \), \( O \), \( F \)가 일직선상에 있어야 합니다. 이 점들이 일직선상에 있으려면 각 \( HOH' \)와 \( FOF' \)의 크기가 같아야 하며, 이는 그 탄젠트 값이 서로 같음을 의미합니다.
\( x \)에 대한 두 각의 탄젠트를 각각 계산합니다:
\[ \tan(HOH') = \frac{5}{x} \] \[ \tan(FOF') = \frac{10}{20 - x} \]두 탄젠트 값을 서로 같습니다:
\[ \frac{5}{x} = \frac{10}{20 - x} \]\( x \)에 대해 풉니다:
\[ 5(20 - x) = 10x \implies 100 - 5x = 10x \implies 15x = 100 \implies x = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]