상수 둘레를 가진 직사각형의 넓이를 극대화(최적화)하는 문제가 제시됩니다. 문제에 대한 해석적 해법을 찾기 위해 함수의 도함수와 미적분학 정리를 기반으로 한 해석적 방법이 개발되었습니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
문제
둘레가 \( 400 \; \text{mm} \)이고 넓이가 최대인 직사각형을 만들기로 결정했습니다. 이 직사각형의 길이와 너비를 구하세요.
문제 풀이 보기
직사각형의 치수를 각각 \( x \) (너비, 거리 \( DC \)), \( y \) (길이, 거리 \( DA \))라고 합시다. 직사각형의 넓이 \( A \)와 둘레 \( P \)는 다음과 같습니다:
\[ A = xy \] \[ P = 400 = 2x + 2y \]둘레 방정식에 대해 \( y \)를 풉니다:
\[ y = 200 - x \]넓이 공식에 \( y = 200 - x \)를 대입하여 \( x \)에 대한 함수로 넓이를 얻습니다:
\[ A(x) = x(200 - x) = -x^2 + 200x \]함수 \( A(x) \)의 정의역은 \( x \ge 0 \)이고 \( y = 200 - x \ge 0 \) (즉 \( x \le 200 \)을 의미함)이므로 닫힌 구간 \( [0, 200] \)입니다.
\( A \)를 극대화하는 \( x \)의 값을 찾기 위해 일차도함수 \( \dfrac{dA}{dx} \)를 계산합니다:
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 200 \]임계점을 찾기 위해 \( \dfrac{dA}{dx} = 0 \)으로 놓습니다:
\[ -2x + 200 = 0 \implies x = 100 \]정의역의 양 끝점에서 \( A(0) = 0 \)이고 \( A(200) = 0 \)입니다. 이차도함수는 다음과 같습니다:
\[ \frac{d^2A}{dx^2} = -2 \]이차도함수가 음수(\( -2 < 0 \))이므로, 이차도함수 판정법에 의해 임계점 \( x = 100 \)은 국소 최댓값(닫힌 구간에서의 절대최댓값)에 해당합니다.
해당하는 길이는 \( y = 200 - 100 = 100 \; \text{mm} \)이며, 최대 넓이는 \( A(100) = 100 \times 100 = 10000 \; \text{mm}^2 \)입니다. 따라서 너비 \( x = 100 \; \text{mm} \), 길이 \( y = 100 \; \text{mm} \) (정사각형)인 직사각형을 선택하는 것이 가능한 최대 넓이를 산출합니다.
연습문제
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연습문제 1: 둘레가 \( 500 \; \text{mm} \)인 점을 제외하고 위와 동일한 문제를 푸세요.
연습문제 1 풀이 보기
둘레 공식 \( 2x + 2y = 500 \implies y = 250 - x \)를 사용합니다. 넓이 함수는 다음과 같습니다:
\[ A(x) = x(250 - x) = -x^2 + 250x \]일차도함수를 구합니다:
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 250 = 0 \implies x = 125 \; \text{mm} \]길이는 \( y = 250 - 125 = 125 \; \text{mm} \)입니다.
결론: 너비 \( x = 125 \; \text{mm} \) 및 길이 \( y = 125 \; \text{mm} \) (정사각형).