도함수를 사용하여 문제 풀기:
거리-시간 최적화

A에서 P까지, 그리고 P에서 C까지 직선 경로를 따라간다고 가정해 봅시다. 거리 BP를 \( x \)라고 합시다. 피타고라스 정리를 사용하여 거리 AP와 PC를 표현할 수 있습니다:

\[ \text{distance } AP = \sqrt{5^2 + x^2} \] \[ \text{distance } PC = 10 - x \]

이제 거리 AP를 걷는 데 걸리는 시간 \( t_1 \)을 구합니다 (\( \text{시간} = \text{거리} / \text{속도} \)):

\[ t_1 = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} \]

거리 PC를 걷는 데 걸리는 시간 \( t_2 \)는 다음과 같습니다:

\[ t_2 = \frac{10 - x}{5} \]

총 시간 \( t \)는 \( t_1 \)과 \( t_2 \)를 더하여 구합니다:

\[ t(x) = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} + \frac{10 - x}{5} \]

함수 \( t(x) \)의 정의역은 닫힌 구간 \( [0, 10] \)입니다. 이 구간을 벗어난 \( x \) 값(점 P가 B의 왼쪽에 있거나 C의 오른쪽에 있는 경우)의 경우 총 시간이 증가합니다.

\( t \)를 최소화하는 \( x \)의 값을 찾기 위해 일차도함수 \( \dfrac{dt}{dx} \)를 계산합니다:

\[ \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \frac{1}{5} \]

임계점을 찾기 위해 \( \dfrac{dt}{dx} = 0 \)으로 놓습니다:

\[ \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} = \frac{1}{5} \]

대각선끼리 곱합니다:

\[ 5x = 3\sqrt{25 + x^2} \]

양변을 제곱합니다:

\[ (5x)^2 = 9(25 + x^2) \implies 25x^2 = 225 + 9x^2 \]

동류항을 정리합니다:

\[ 16x^2 = 225 \implies x^2 = \frac{225}{16} \]

\( x \)에 대해 풉니다 (\( x > 0 \)):

\[ x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3.75 \; \text{km} \]

일차도함수 \( \dfrac{dt}{dx} \)는 \( x < 3.75 \)일 때 음수, \( x = 3.75 \)일 때 0, \( x > 3.75 \)일 때 양수입니다. 끝점에서 \( t(x) \)를 평가하면 \( t(0) \approx 3.6 \; \text{hrs} \), \( t(10) \approx 3.7 \; \text{hrs} \)인 반면, \( x = 3.75 \)일 때 \( t(3.75) \approx 3.3 \; \text{hrs} \) (최솟값)입니다.

결론: 가장 짧은 시간에 도착하려면 \( BP = 3.75 \; \text{km} \)가 되는 점 P까지 걸어가서 도로를 따라 C로 진행해야 합니다.