\( x \)가 무한대로 갈 때 \( \arctan(x) \)의 극한은 두 가지 다른 접근 방식을 사용하여 검토됩니다. 첫 번째는 직각삼각형을 기반으로 하고, 두 번째는 역함수 \( \arctan(x) \)의 정의를 기반으로 합니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
직각삼각형에서의 \( \arctan(x) \) 접근법
\( \alpha = \arctan(x) \)라고 하면, \( \tan \alpha = x = \dfrac{x}{1} \)이 되며 직각삼각형에서 tan의 정의를 사용하여 \( x = \tan \alpha \)를 시각화합니다.
기하학적 접근법
\( x \)가 한없이 증가할 때, 기하학적으로 \( \alpha \)는 \( \dfrac{\pi}{2} \)에 가까워지므로 다음과 같은 극한을 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2} \]대수적 접근법
다음으로 주어진 \( \sin(\alpha) \)를 사용할 수도 있습니다:
\[ \sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]극한을 계산합니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \]이는 다음을 제공합니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \]합성함수의 극한을 이용하면:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) \]\( \dfrac{\pi}{2} \)는 상수이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \]따라서 다음이 성립합니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\right) \]마지막으로 \( \alpha = \arctan(x) \)를 대입하면:
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]Tan(x)와 Arctan(x) 그래프 접근법
아래에는 간격 \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \)에서의 함수 \( y = \tan x \)의 그래프(파란색)가 나와 있으며, \( x = \dfrac{\pi}{2} \)와 \( x = -\dfrac{\pi}{2} \)는 수직 점근선(파란색 파선)입니다. 이는 일대일 함수이므로 아래에 표시된 것과 같은 역함수 \( y = \arctan(x) \)를 갖습니다(빨간색).
\( y = \tan x \)의 수직 점근선은 역함수 \( y = \arctan(x) \)의 수평 점근선(빨간색 파선)이 되며, 이는 정의에 따라 극한을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2} \]