예제를 통해 극한의 개념을 소개하기 위해 수치적 접근과 그래픽적 접근이 사용됩니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
극한에 대한 수치적 접근
예제 1
\( f(x) = 2x + 2 \)라 하고, \( x \)가 1에 가까워질 때의 \( f(x) \) 값을 계산해 봅시다. 먼저 \( x \)가 왼쪽에서 1에 접근하는 경우(\( x < 1 \))를 고려합니다.
이제 \( x \)가 오른쪽에서 1에 접근하는 경우(\( x > 1 \))를 고려합니다.
두 경우 모두 \( x \)가 1에 가까워질 때, \( f(x) \)는 4에 가까워집니다. 직관적으로 이를 \( \lim_{x \to 1} f(x) = 4 \)라고 표현합니다.
참고: 여기서 다루는 것은 \( f(1) \)이 아니라 \( x \)가 \( 1 \)에 가까워질 때 \( f(x) \)가 취하는 값들입니다. 사실, \( f(a) \)가 정의되지 않은 경우에도 \( x \)가 \( a \)에 가까워질 때 \( f(x) \)의 극한을 논할 수 있습니다.
예제 2
\( g(x) = \dfrac{\sin x}{x} \)라 하고, \( x \)가 0에 가까워질 때의 \( g(x) \) 값을 계산해 봅시다. \( x \)가 왼쪽에서 0에 접근하는 경우(\( x < 0 \))와 오른쪽에서 0에 접근하는 경우(\( x > 0 \))를 모두 고려합니다.
여기서는 \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)이라고 말합니다. \( x = 0 \)일 때 \( g(0) = \dfrac{\sin 0}{0} = \dfrac{0}{0} \)은 정의되지 않음에 유의하세요.
극한에 대한 그래픽적 접근
예제 3
아래 그래프는 \( x \)가 왼쪽에서 1에 접근할 때 \( y = f(x) \)가 2에 가까워짐을 보여주며, 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]\( x \)가 오른쪽에서 1에 접근할 때, \( y = f(x) \)는 4에 가까워지며, 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]좌극한, 우극한 및 \( f(1) = 3 \)은 모두 서로 다름에 유의하세요.
예제 4
이 그래프는 다음을 보여줍니다:
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]\( x \)가 오른쪽에서 1에 접근할 때, \( y = f(x) \)는 4에 가까워지며, 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]좌극한 \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \)와 \( f(1) = 2 \)가 서로 같음에 유의하세요.
예제 5
이 그래프는 다음을 보여줍니다:
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \]그리고
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \]좌극한과 우극한이 서로 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \]이 예제에서 \( x \)가 0에 가까워질 때의 극한은 \( f(0) = 1 \)과 같습니다.
Example 6
이 그래프는 \( x \)가 왼쪽에서 -2에 접근할 때, \( f(x) \)가 한없이 작아지며 극한이 존재하지 않음을 보여줍니다. 다음과 같이 씁니다:
\[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty \]\( x \)가 오른쪽에서 -2에 접근할 때, \( f(x) \)는 한없이 커지며 극한이 존재하지 않습니다. 다음과 같이 씁니다:
\[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty \]\( -\infty \)와 \( +\infty \)는 숫자가 아니라 기호입니다. 이 기호들은 극한이 존재하지 않음을 나타내기 위해 사용됩니다.
예제 7
아래 그래프는 치역이 구간 \([-1, 1]\)인 주기 함수를 보여줍니다. \( x \)가 한없이 커지도록 허용하면, \( f(x) \)는 \([-1, 1]\) 안의 값들을 취하며 극한이 존재하지 않습니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{존재하지 않음} \]\( x \)가 한없이 작아지도록 허용하면, \( f(x) \)는 다시 \([-1, 1]\) 안의 값들을 취하며 극한이 존재하지 않습니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \text{존재하지 않음} \]
예제 8
\( x \)가 한없이 커지도록 허용할 때, 아래 그래프의 \( f(x) \)는 2에 가까워집니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]\( x \)가 한없이 작아지도록 허용할 때, \( f(x) \)는 2에 가까워집니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \]
