샌드위치 정리라고도 불리는 조임 정리는 극한을 구하는 데 사용됩니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
조임 정리
\( f \), \( g \), \( h \)가 다음과 같은 조건을 만족하는 함수들이라면:
\[ f(x) \le g(x) \le h(x) \](\( a \)를 포함하는 어떤 열린 구간 내의 모든 \( x \) 값에 대하여, 단 \( a \)에서는 아닐 수도 있음), 그리고 다음이 성립할 때:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]다음이 성립합니다:
\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하면 상세한 단계별 풀이를 볼 수 있습니다.
예제 1
극한을 구하시오:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \]예제 1 풀이 보기
\( x \)가 \( 0 \)에 가까워질 때, \( \dfrac{1}{x} \)의 절댓값은 매우 커지며, \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \)는 심하게 진동합니다.
그러나 \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \)는 코사인 함수의 치역인 구간 \([-1, 1]\) 안의 값들을 취합니다. 따라서:
\[ -1 \le \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1 \]위 부등식의 모든 항에 \( x^2 \)을 곱합니다 (단, \( x \neq 0 \)일 때 \( x^2 > 0 \)임에 유의):
\[ -x^2 \le x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2 \]위 부등식은 \( x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \)가 정의되지 않는 \( 0 \)을 제외한 모든 \( x \) 값에 대해 성립합니다. \( x \)가 \( 0 \)에 가까워질 때, \( -x^2 \)과 \( x^2 \) 모두 \( 0 \)에 가까워집니다:
\[ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \]따라서 조임 정리에 의하여 다음을 얻습니다:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0 \]예제 2
극한을 구하시오:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \]예제 2 풀이 보기
\( 0 < x < \pi/2 \)라고 가정하고, 단위 원과 표준 위치에서 중심각이 \( x \)인 부채꼴 \( OAC \)를 고려합니다. \( A \)는 단위 원 위의 점이고, \( AB \)는 점 \( A \)에서 원에 접하며 이 점에서 직각을 이룹니다.
점 \( C \)는 좌표가 \( (\cos x, \sin x) \)인 단위 원(반지름이 1) 위의 점입니다. 삼각형 \( OAC \), 부채꼴 \( OAC \), 직각삼각형 \( OAB \)의 넓이를 구해 봅시다.
삼각형 넓이에 대한 사인 공식을 사용하면:
\( \text{삼각형 } OAC\text{의 넓이} = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \sin x \)
부채꼴의 넓이 공식을 사용하면:
\( \text{부채꼴 } OAC\text{의 넓이} = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot OC^2 = \dfrac{1}{2} x \)
직각삼각형 \( OAB \)의 넓이:
\( \text{직각삼각형 } OAB\text{의 넓이} = \dfrac{1}{2} \cdot (\text{밑변}) \cdot (\text{높이}) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \dfrac{1}{2} \tan x \)
세 넓이를 기하학적으로 비교하여 다음과 같은 부등식을 작성할 수 있습니다:
\[ \text{삼각형 } OAC\text{의 넓이} < \text{부채꼴 } OAC\text{의 넓이} < \text{삼각형 } OAB\text{의 넓이} \]넓이 식을 대입합니다:
\[ \dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x \]모든 항에 \( \dfrac{2}{\sin x} \)를 곱합니다 (\( 0 < x < \pi/2 \)일 때 \( \sin x > 0 \)이므로):
\[ 1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x} \]역수를 취하고 부등호 방향을 바꿉니다:
\[ 1 > \dfrac{\sin x}{x} > \cos x \]이는 다음 식과 같습니다:
\[ \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 \]이 부등식은 \( -\pi/2 < x < 0 \)에서도 성립함을 보일 수 있으므로, \( \dfrac{\sin x}{x} \)가 정의되지 않는 \( x = 0 \)을 제외하고 \( 0 \) 주위의 열린 구간에 있는 모든 \( x \)에 대해 성립합니다. 다음 성질에 의해:
\[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0} 1 = 1 \]조임 정리를 적용하여 다음을 얻을 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]이 기본적인 극한은 다른 삼각함수의 극한을 구하고 그 도함수를 계산하는 데 필수적입니다.