로피탈의 정리를 사용하면 극한 문제를 풀기 더 쉬운 다른 문제로 바꿀 수 있습니다. 풀이와 상세한 설명이 포함된 여러 예제가 제시됩니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
로피탈의 정리
\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \)이고 \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) (또는 둘 다 \( \pm\infty \)에 접근)이며, \( \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \)가 유한한 값 \( L \)을 갖거나 \( +\infty \) 또는 \( -\infty \) 형태인 경우 다음이 성립합니다:
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]여기서 \( \lim \)은 \( \lim_{x \to a} \), \( \lim_{x \to a^+} \), \( \lim_{x \to a^-} \), \( \lim_{x \to +\infty} \), 또는 \( \lim_{x \to -\infty} \)를 의미합니다.
\( f'(x) \)와 \( g'(x) \)는 각각 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 도함수입니다.
상세 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하면 상세한 단계별 풀이를 볼 수 있습니다.
예제 1
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)을 구하시오.
풀이 보기
다음 성질에 의해:
\[ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \]그리고
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]로피탈의 정리를 사용하여 위 극한을 다음과 같이 구할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(\sin x)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \dfrac{\cos 0}{1} = 1 \]예제 2
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \)을 구하시오.
풀이 보기
다음 점을 참고하세요:
\[ \lim_{x \to 0} (e^x - 1) = 0 \]그리고
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]로피탈의 정리를 사용하여 주어진 극한을 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(e^x - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = \dfrac{e^0}{1} = 1 \]예제 3
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)을 구하시오.
풀이 보기
분자의 극한:
\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \]그리고 분모의 극한:
\[ \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0 \]모두 0이므로, 로피탈의 정리를 사용하여 극한을 계산할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d(x^2 - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x - 1)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x}{1} = \dfrac{2(1)}{1} = 2 \]참고로 동일한 극한은 다음과 같이 먼저 인수분해하여 구할 수도 있습니다:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]예제 4
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} \)을 구하시오.
풀이 보기
분자의 극한:
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(1) = 0 \]분모의 극한:
\[ \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \]두 극한 모두 0이므로, 로피탈의 정리를 사용할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{d(\ln(x - 1))}{dx}}{\dfrac{d(x - 2)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{1}{x - 1}}{1} = \dfrac{\dfrac{1}{2 - 1}}{1} = 1 \]예제 5
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} \)을 구하시오.
풀이 보기
분자와 분모의 극한:
\[ \lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0} 6x^2 = 0 \]로피탈의 정리를 사용할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{12x} \]새로운 극한 역시 부정형 \( \dfrac{0}{0} \)이므로, 로피탈의 정리를 두 번째로 적용할 수 있습니다:
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{12} = \dfrac{\cos 0}{12} = \dfrac{1}{12} \]연습 문제
다음 극한을 구하시오. 각 연습 문제를 클릭하여 정답을 확인할 수 있습니다.
연습 문제 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \)
정답 보기
연습 문제 2
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} \)
정답 보기
연습 문제 3
\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{3x - 3} \)
정답 보기
연습 문제 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin 2x} \)