예제와 풀이를 통해 매개변수 방정식의 도함수를 알아봅니다. 접선의 기울기와 오목성을 구하는 응용도 함께 포함되어 있습니다. 아래에서 더 많은 질문과 해답을 확인하세요.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
매개변수 방정식의 1계 및 2계 도함수
다음과 같은 형태의 매개변수 방정식이 주어졌을 때:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) \\ y(t) \end{aligned} \right. \]도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)는 무엇일까요?
먼저 미분의 연쇄 법칙을 사용하여 도함수 \( \dfrac{dy}{dt} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dt} \]양변을 \( \dfrac{dx}{dt} \)로 나누고 정리하면 다음과 같습니다:
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \text{if} \; \dfrac{dx}{dt} \ne 0} \qquad (I) \]2계 도함수는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \]위의 공식 (I)에서 \( y \)를 \( \dfrac{dy}{dx} \)로 대체하면 다음과 같습니다:
\[ \boxed{ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} } \qquad (II) \]예제 및 상세 풀이
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예제 1
다음 형태의 매개변수 방정식이 주어졌을 때:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2t + 1 \\ y(t) &= t^2 - 2 \end{aligned} \right. \]도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)는 무엇인가요?
예제 1 풀이 보기
\( \dfrac{dy}{dt} \)와 \( \dfrac{dx}{dt} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2 \]공식 (I)을 사용하여 다음을 얻습니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2t}{2} = t \qquad (I) \]\( \dfrac{dy}{dx} \)를 \( x \)에 대한 식으로 표현할 수도 있습니다. 매개변수 방정식 \( x = 2t + 1 \)을 이용하여 \( x \)에 대한 \( t \)를 구합니다:
\[ t = \dfrac{x - 1}{2} \]\( t \)를 식 (I)에 대입합니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 1}{2} \]예제 2
a) 다음 매개변수 방정식이 주어졌을 때, 1계 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)와 2계 도함수 \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \)를 구하세요:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2(t - \sin t) \\ y(t) &= 2(1 - \cos t) \end{aligned} \right. \]그리고 곡선의 오목성을 판별하세요.
b) 그래픽 도구를 사용하여 a)에서 구한 오목성 결과를 확인하세요.
예제 2 풀이 보기
a)
\( \dfrac{dy}{dt} \)와 \( \dfrac{dx}{dt} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2\sin t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t) \]공식 (I)을 사용하여 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2\sin t}{2(1 - \cos t)} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \]다음으로 \( \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \)를 계산합니다:
\[ \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \right) = \dfrac{\cos t(1 - \cos t) - \sin t(\sin t)}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^2} = -\dfrac{1}{1 - \cos t} = \dfrac{1}{\cos t - 1} \]공식 (II)를 사용하여 2계 도함수를 구합니다:
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{1}{\cos t - 1}}{2(1 - \cos t)} = -\dfrac{1}{2(\cos t - 1)^2} \]2계 도함수는 항상 음수이므로(분모가 0이 되는 곳 제외), 이 매개변수 방정식의 곡선은 위로 볼록(concave down)합니다.
b)
주어진 매개변수 방정식의 그래프(사이클로이드(cycloid)로 알려짐)는 곡선이 전체적으로 위로 볼록함을 보여줍니다.
예제 3
a) 다음 매개변수 방정식으로 정의되는 곡선을 그리세요:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t \\ y(t) &= \sin t \cos t \end{aligned} \right., \quad t \in [0, 2\pi] \]b) 1계 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하고, 점 \( (0, 0) \)에서의 접선 방정식을 구한 뒤 그래프로 나타내세요.
예제 3 풀이 보기
a)
b)
도함수 \( \dfrac{dy}{dt} \)와 \( \dfrac{dx}{dt} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t, \quad \dfrac{dx}{dt} = \cos t \]공식 (I)을 사용하여 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t} \]\( t \in [0, 2\pi] \) 범위에서 \( \sin t = 0 \)과 \( \sin t \cos t = 0 \)을 풀어 \( (x, y) = (0, 0) \)이 되는 \( t \)의 값을 찾습니다:
\[ t = 0 \quad \text{및} \quad t = \pi \]첫 번째 기울기 \( m_1 \)을 위해 \( t = 0 \)에서 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 평가합니다:
\[ m_1 = \dfrac{\cos^2 0 - \sin^2 0}{\cos 0} = 1 \]두 번째 기울기 \( m_2 \)를 위해 \( t = \pi \)에서 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 평가합니다:
\[ m_2 = \dfrac{\cos^2 \pi - \sin^2 \pi}{\cos \pi} = -1 \]\( (0, 0) \)에서의 접선 방정식:
\[ y = x \quad \text{및} \quad y = -x \]
질문
아래 문제들을 풀어보세요. 정답을 확인하려면 각 해답 상자를 클릭하세요.
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질문 1
a) 매개변수 방정식 \( \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \cos t + 2 \\ y(t) &= \sin t - 1 \end{aligned} \right., t \in [\pi, 2\pi] \)가 주어졌을 때, \( t = \dfrac{3\pi}{2} \)에서의 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하세요.
b) 곡선의 오목성은 어떠한가요?
c) 곡선을 그리고 정답을 확인하세요. -
질문 2
극좌표계에서 곡선 \( r = 3 - 3\cos\theta \)가 주어져 있습니다.
a) \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \)일 때 곡선 접선의 기울기를 구하세요.
b) 접선이 수평이 되는 \( \theta \)와 \( r \)을 구하세요.
c) 극좌표계에서 \( r \)을 그래프로 그리고 정답을 확인하세요. -
질문 3
극좌표계에서 원점이 중심이고 반지름이 \( R \)인 원의 방정식은 \( r = R \)입니다. 원점에서 중심이 있고 반지름이 2인 원 위의 점들 중 접선의 기울기가 \( \dfrac{1}{2} \)인 모든 점의 직교 좌표를 구하세요.
연습문제 해답
질문 1 해답
질문 1 해답 보기
a) \( \dfrac{dy}{dt} \)와 \( \dfrac{dx}{dt} \)를 구합니다:
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t, \quad \dfrac{dx}{dt} = -\sin t \] \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \]\( t = \dfrac{3\pi}{2} \)에서 대입하여 평가합니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]b) 2계 도함수 \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \)를 계산합니다:
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}(-\cot t)}{-\sin t} = \dfrac{\csc^2 t}{-\sin t} = -\csc^3 t \]\( (\pi, 2\pi) \) 구간에서 \( \csc t = \dfrac{1}{\sin t} \)가 음수이므로, 2계 도함수 \( -\csc^3 t \)는 양수가 되며, 이는 곡선이 \( (\pi, 2\pi) \)에서 아래로 볼록(concave up)함을 의미합니다.
질문 2 해답
질문 2 해답 보기
a) 극좌표-직교좌표 변환을 사용합니다:
\[ x(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\cos\theta, \quad y(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\sin\theta \]\( \theta \)에 대한 도함수를 계산합니다:
\[ \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta + \cos\theta(3 - 3\cos\theta), \quad \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin(2\theta) - 3\sin\theta \]\( \theta = \dfrac{\pi}{4} \)일 때, 값을 대입하면 기울기 \( m = \sqrt{2} + 1 \approx 2.41 \)이 얻어집니다.
b) 수평 접선을 위해 \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \)으로 설정합니다 (단, \( \dfrac{dx}{d\theta} \neq 0 \)):
\[ 3\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3\cos^2\theta = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 \]풀면 \( \theta = \dfrac{2\pi}{3} \)와 \( \theta = \dfrac{4\pi}{3} \)가 나옵니다 (분모가 0이 되는 \( \theta = 0 \)은 제외). 해당하는 반지름은 \( r = 4.5 \)입니다.
질문 3 해답
질문 3 해답 보기
반지름이 \( r = 2 \)인 원의 매개변수 방정식:
\[ x(\theta) = 2\cos\theta, \quad y(\theta) = 2\sin\theta \]도함수는 \( \dfrac{dy}{dx} = -\cot\theta \)입니다.
기울기를 \( \dfrac{1}{2} \)로 설정합니다:
\[ -\cot\theta = \dfrac{1}{2} \implies \tan\theta = -2 \]\( [0, 2\pi] \) 범위에서 각도를 구합니다:
\[ \theta_1 \approx 2.68 \text{ rad} \, (153.55^\circ), \quad \theta_2 \approx 5.82 \text{ rad} \, (333.46^\circ) \]직교 좌표를 평가합니다:
\[ (2\cos\theta_1, 2\sin\theta_1) \approx (-1.79, 0.89) \] \[ (2\cos\theta_2, 2\sin\theta_2) \approx (1.79, -0.89) \]