매개변수 방정식

정의, 예제, 매개변수 소거 및 상세 풀이

매개변수 방정식이 예제 및 풀이와 함께 제시됩니다. 더 많은 질문과 해답이 포함되어 있습니다.

이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.

예제

각 예제를 클릭하여 단계별 상세 풀이를 확인하세요.

예제 1

어떤 곡선들은 매개변수에 따른 매개변수 방정식 \( x \)와 \( y \)를 사용하여 가장 잘 설명됩니다 [1] [2].
다음은 매개변수 \( t \)에 대한 매개변수 방정식 \( x(t) \)와 \( y(t) \)의 예입니다:

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t \\ y(t) &= 0.5 t^2 \qquad \text{for} \; t \in [0, 3] \end{aligned} \right. \]
예제 1 풀이 및 분석 보기

곡선의 그래프는 매개변수 \( t \)의 다양한 값에 대한 \( x \)와 \( y \) 좌표를 찾아 그려집니다:

매개변수 방정식의 값의 표
표 1. \( x(t) = t \) 및 \( y(t) = 0.5 t^2 \)에 대한 값의 표

\( t \)의 각 값은 좌표계에 플롯된 점 \( (x, y) \)를 결정합니다. \( t \)가 변함에 따라 점 \( (x(t), y(t)) \)는 매개변수 곡선이라 불리는 곡선을 그립니다. 빨간색 화살표는 매개변수 \( t \)가 증가하는 방향을 나타냅니다.

매개변수 방정식의 예제
그림 1. 매개변수 곡선 \( x(t) = t \) 및 \( y(t) = 0.5 t^2 \)의 그래프

참고: 얻어진 곡선은 \( t \)를 소거하여 얻을 수 있는 포물선의 일부입니다:
첫 번째 방정식 \( x(t) = t \)를 \( t \)에 대해 풉니다: \( t = x \).
두 번째 방정식 \( y(t) = 0.5 t^2 \)에 \( t \)를 대입합니다:

\[ y = 0.5 x^2 \]

\( t \)의 범위를 \( [0, 3] \)으로 취할 때 이 포물선의 일부분만 나타납니다.

예제 2

이 예제는 복잡한 곡선을 설명하기 위해 간단한 매개변수 방정식을 사용하는 이점을 보여줍니다. 아래의 매개변수 방정식은 전기 공학에서 사용되는 리사주 곡선을 설명합니다.
다음이 주어졌을 때:

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t + 1 \\ y(t) &= \sin 2t + 2 \qquad \text{for} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]
예제 2 풀이 및 분석 보기
리사주 곡선의 값의 표
표 2. \( x(t) = \sin t + 1 \) 및 \( y(t) = \sin 2t + 2 \)에 대한 값의 표
리사주 곡선 그래프
그림 2. 리사주 매개변수 곡선 그래프

매개변수 \( t \)를 소거하여 직교 좌표계에서 곡선의 방정식을 찾아봅시다:

첫 번째 방정식으로부터 다음을 얻습니다:

\[ \sin t = x - 1 \]

삼각함수 항등식 \( \sin(2t) = 2\sin t \cos t \)를 사용하여 두 번째 방정식을 다시 씁니다:

\[ y = 2\sin t \cos t + 2 \]

\( \cos t = \pm\sqrt{1 - \sin^2 t} \)이므로:

\[ y = \pm 2\sin t \sqrt{1 - \sin^2 t} + 2 \]

\( \sin t = x - 1 \)을 대입합니다:

\[ y = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} + 2 \implies y - 2 = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} \]

양변을 제곱하고 정리하면 하나의 직교 방정식이 얻어집니다:

\[ (y - 2)^2 = 4(x - 1)^2(2x - x^2) \]

참고: 이는 직교 좌표계로 표현하기에 번거로운 복잡한 곡선을 매개변수 방정식이 얼마나 간단하게 나타낼 수 있는지 보여줍니다.

질문

아래 각 매개변수 방정식 세트에 대해 곡선을 나타내는 직교 좌표계의 방정식을 찾고 결과 곡선을 그리세요.

  1. \[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t^3 - 1 \\ y(t) &= \dfrac{1}{t - 1} \qquad \text{for} \; t \in [-1, 1.5] \end{aligned} \right. \]

  2. \[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\sin t - 3 \\ y(t) &= 2\cos t + 4 \qquad \text{for} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

  3. \[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\cos(2t) \\ y(t) &= \sin t - 1 \qquad \text{for} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

연습문제 해답

질문 1 해답

질문 1 해답 보기

\( x = t^3 - 1 \)을 \( t \)에 대해 풉니다:

\[ t = \sqrt[3]{x + 1} \]

\( t \)를 \( y \)에 대입합니다:

\[ \boxed{y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 1} - 1}} \]

질문 2 해답

질문 2 해답 보기

방정식을 다음과 같이 다시 씁니다:

\[ \sin t = \dfrac{x + 3}{2}, \quad \cos t = \dfrac{y - 4}{2} \]

항등식 \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \)에 대입합니다:

\[ \left(\dfrac{x + 3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y - 4}{2}\right)^2 = 1 \]

표준 원의 방정식으로 정리합니다:

\[ \boxed{(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2} \]

참고: 이것은 중심이 \( (-3, 4) \)이고 반지름이 \( 2 \)인 원입니다.

질문 3 해답

질문 3 해답 보기

삼각함수 항등식 \( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t \)를 사용합니다:

\[ x = 2(1 - 2\sin^2 t) \]

\( y = \sin t - 1 \)로부터 \( \sin t = y + 1 \)을 얻습니다. 이를 \( x \) 방정식에 대입합니다:

\[ \boxed{x = 2 - 4(y + 1)^2} \]

참고: 이것은 수평축을 가지며 꼭짓점이 \( (2, -1) \)인 포물선을 나타냅니다.

매개변수 방정식으로 주어진 곡선의 그래프
그림 3. 위에서 주어진 모든 매개변수 방정식의 곡선 그래프

참고 자료

  1. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  3. 매개변수 방정식의 도함수 및 그 응용
  4. 미적분학 문제 및 튜토리얼
  5. AnalyzeMath 홈페이지