오일러 공식

테일러 급수를 이용한 단계별 증명 및 유도

테일러 급수를 사용한 오일러 공식의 증명이 아래에 제시되어 있습니다.

아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.

오일러 공식의 유도

수학 공식 표를 참고하면, \( e^z \)의 테일러 급수 전개는 다음과 같이 주어집니다:

\[ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \frac{z^7}{7!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \]

\( x \)가 실수이고 \( i = \sqrt{-1} \)이 허수단위일 때 \( z = ix \)라고 둡니다:

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \dots \]

\( ix \)의 거듭제곱을 전개합니다:

\[ e^{ix} = 1 + ix + i^2 \frac{x^2}{2!} + i^3 \frac{x^3}{3!} + i^4 \frac{x^4}{4!} + i^5 \frac{x^5}{5!} + i^6 \frac{x^6}{6!} + i^7 \frac{x^7}{7!} + \dots + i^n \frac{x^n}{n!} + \dots \]

\( i \)의 거듭제곱의 주기적 성질을 이용합니다:

\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^3 \cdot i = 1 \)
\( i^5 = i^4 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^5 \cdot i = -1 \)
\( i^7 = i^6 \cdot i = -i \)

이 값들을 전개식에 다시 대입합니다:

\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \dots \]

실수항들을 함께 묶고 허수항들에서 \( i \)를 ily 묶어내면 식 \( (I) \)가 됩니다:

\[ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \quad (I) \]

수학 공식 표에 따르면, \( \sin x \)와 \( \cos x \)의 테일러 급수는 다음과 같습니다:

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

이 급수들을 식 \( (I) \)에 대입하면, 실수부는 \( \cos x \)에 해당하고 허수부는 \( \sin x \)에 해당합니다:

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

기타 참고자료 및 링크

  1. 예제가 포함된 테일러 및 맥클로린 급수
  2. 수학 공식 표
  3. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  4. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  5. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  6. AnalyzeMath 홈 페이지