수렴하는 급수와 발산하는 급수

급수의 정의

\( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \)을 무한 수열이라고 합시다. 무한 합: \[ a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots \] 은 급수라고 불립니다 [1] [2].

급수는 합 기호 \( \displaystyle \sum \)을 사용하여 다음과 같이 쓸 수도 있습니다: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]

참고로 합의 위쪽 한계가 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \)처럼 무한대일 때는 급수가 되고, 합의 위쪽 한계가 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \)처럼 유한할 때는 부분합이 됩니다.

수렴하는 급수와 발산하는 급수

먼저 그래프와 두 가지 예제를 사용하여 급수의 수렴과 발산에 대해 논의합니다.

예제 1 - 수렴하는 급수

\( a_i = \dfrac{1}{4^i} \)로 두고 부분합을 다음과 같이 정의합니다: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \]

\( n \), \( a_n \), 그리고 다음과 같이 정의된 유한 합 \( s_n \)의 값들의 표:

이 아래에 나와 있습니다. 아래의 표 1과 그림 1에서 명확히 볼 수 있듯이, 부분합 \( s_n \)에 더 많은 항을 더할수록 \( 2 \)에 더 가까워진다는 점에 주의하세요.

\( n \)이 증가함에 따라 부분합 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)은 \( 2 \)와 같아지는 상수 값에 수렴합니다. 따라서 급수 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \)는 \( 2 \)로 수렴한다고 말할 수 있습니다.

예제 2 - 발산하는 급수

\( a_i = (-2)^i \)로 두고 부분합을 다음과 같이 정의합니다: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \]

아래는 \( n \), \( a_n \), 그리고 유한 합 \( s_n \)의 값들의 표입니다. 항을 더 많이 더할수록 표 2와 그림 2 모두 어떠한 값으로도 수렴함을 보여주지 않습니다. 부분합은 극한이 없으며, 급수 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \)는 발산하는 것으로 간주합니다.

수렴 및 발산 급수의 정식 정의

주어진 급수: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \] \( S_n \)을 부분합이라 합시다: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

만약 \( \lim_{n\to\infty} S_n \)이 존재하고: \[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \] 여기서 \( s \)가 실수일 때, 급수 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \)는 수렴한다고 하고 다음과 같이 씁니다: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = s \]

만약 \( \lim_{n\to\infty} S_n \)이 존재하지 않거나 실수가 아니면, 급수 \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \)는 발산합니다. 다음과 같이 쓸 수도 있습니다: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

기하급수 (등비급수)

기하급수는 다음과 같이 정의됩니다: \[ \sum_{i=1}^{\infty} a \, r^{i-1} = a + a \, r + a \, r^2 + \dots \] 여기서 \( r \)은 공비(common ratio)라고 합니다.

\( S_n \)을 다음과 같이 정의된 부분합이라 합시다: \[ S_n = a + a \, r + a \, r^2 + \dots + a \, r^{n-1} \quad (I) \] 양변에 \( r \)을 곱합니다: \[ r \, S_n = a \, r + a \, r^2 + a \, r^3 + \dots + a \, r^n \quad (II) \] (I)에서 (II)를 뺍니다: \[ S_n - r \, S_n = a(1 - r^n) \implies S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

극한으로부터 \( |r| < 1 \)일 때 \( \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \)임이 알려져 있습니다. 따라서 다음과 같이 말할 수 있습니다:

예제 3 - 기하급수

다음 기하급수 중 수렴하는 것은 어느 것입니까? 가능하면 합을 구하세요.

1. \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \)
2. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2i}}{10^{i-1}} \)
3. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \)

예제 3의 풀이

1. 급수 \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \)의 공비는 \( r = \dfrac{-\frac{12}{5}}{4} = -\dfrac{3}{5} \)입니다.
   \( |r| = \dfrac{3}{5} < 1 \)이므로, 이 급수는 수렴합니다.
   첫째항이 \( a = 4 \)이므로, 합은 다음과 같습니다: \[ \sum = \frac{4}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{4}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{4}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{2} \]
2. 급수를 다시 씁니다: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^{2i}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(3^2)^i}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9 \cdot 9^{i-1}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\frac{9}{10}\right)^{i-1} \] 첫째항 \( a = 9 \), 공비 \( r = \dfrac{9}{10} < 1 \). 이 급수는 수렴합니다: \[ \sum = \frac{9}{1 - \frac{9}{10}} = 90 \]
3. 급수를 다시 씁니다: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5^{-i} \, 2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^2}{5^1} \cdot \frac{5^i}{2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{5^{i-1}}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{5}{2}\right)^{i-1} \] 공비가 \( r = \dfrac{5}{2} > 1 \)이므로, 이 급수는 발산합니다.

산술급수(등차급수)는 발산합니다

산술급수는 다음과 같이 주어집니다: \[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i-1)d) = a + (a + d) + (a + 2d) + \dots \] 부분합 \( S_n \)은 다음과 같습니다: \[ S_n = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2} = \frac{nd}{2}n + n\left(a - \frac{d}{2}\right) \] \( \lim_{n\to\infty} S_n = \infty \)이므로, 모든 산술급수는 발산합니다.

수렴하는 급수의 조합에 관한 정리

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1 \)이고 \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2 \)가 수렴하는 급수이고, \( k_1, k_2 \)가 실수일 때, 그 어떠한 선형 조합도 수렴합니다: \[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]

예제 4

가능한 경우 다음 급수의 값을 구하세요:

1. \( \left(2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dots\right) + \left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \dots\right) \)
2. \( -3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{i-1} - 4 \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} \)
3. \( \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^i + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^i - 7 \cdot 2^i}{5^{i-1}} \)

예제 4의 풀이

1. 첫 번째 급수: \( A_1 = 2, R_1 = -\dfrac{1}{2} \implies \dfrac{2}{1 - (-1/2)} = \dfrac{4}{3} \).
   두 번째 급수: \( A_2 = -\dfrac{1}{3}, R_2 = -\dfrac{1}{3} \implies \dfrac{-1/3}{1 - (-1/3)} = -\dfrac{1}{4} \).
   합 = \( \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12} \).
2. 첫 번째 급수: \( A_1 = 1, R_1 = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2 \).
   두 번째 급수: \( A_2 = 1, R_2 = 0.7 \implies \dfrac{1}{1 - 0.7} = \dfrac{10}{3} \).
   전체 합 = \( -3(2) - 4\left(\dfrac{10}{3}\right) = -6 - \dfrac{40}{3} = -\dfrac{58}{3} \).
3. 기하급수의 조합으로 다시 씁니다: \[ 0.2 \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^{i-1} + 3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{i-1} - 14 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{i-1} \] 각각의 합을 평가합니다: \[ 0.2\left(\frac{1}{1-0.2}\right) + 3\left(\frac{1}{1-3/5}\right) - 14\left(\frac{1}{1-2/5}\right) = \frac{1}{4} + \frac{15}{2} - \frac{70}{3} = -\frac{187}{12} \]

기타 참고자료 및 링크

1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
2. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
3. 수열과 합산
4. 극한 소개
5. AnalyzeMath 홈 페이지