단계별 풀이가 포함된 종합 튜토리얼
다항식의 인수분해란 다항식을 더 간단한 다항식들의 곱으로 나타내는 것을 의미합니다. 이는 방정식의 해를 구하고 복잡한 식을 간단히 만드는 데 사용되는 대수학의 기본 기술입니다.
공통인수에 의한 인수분해는 분배법칙을 역방향으로 적용하는 것에 기반합니다:
표준 분배법칙:
\[ a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]역방향 (인수분해):
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]이 방법에서는 모든 항에 공통인 인수 $a$를 찾아 괄호 밖으로 빼냅니다.
참고: 인수분해한 결과를 검산하려면, 결과를 전개하여 원래의 다항식으로 돌아오는지 확인하면 됩니다.
최대공약수(GCF)를 찾아 다음 다항식을 완전히 인수분해하세요.
예제 A: \( 9x - 6 \)
풀이: 소인수분해를 사용하여 공통인수를 찾습니다: \( \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \). GCF는 3입니다. 결과: \( 3(3x - 2) \).
예제 B: \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
풀이: 계수(16, 8, 4)의 최대공약수는 4입니다. 공통 변수는 $x$입니다. GCF는 $4x$입니다. 결과: \( 4x(4x^2 + 2xy + y^2) \).
예제 C: \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
풀이: $(x + 5)$가 공통 다항식 인수임을 알 수 있습니다. 먼저 이를 묶어냅니다: \( (x + 5)(2x^4 + x^2) \). 그런 다음 남은 부분에서 $x^2$을 밖으로 빼냅니다. 결과: \( x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \).
공통인수를 사용하여 다음 다항식을 완전히 인수분해하세요. 각 문제에는 상세한 풀이가 포함되어 있습니다.
문제 1: 다음을 인수분해하세요 \[ -3x + 9 \]
소인수분해를 사용하여 두 항을 표현합니다:
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]최대공약수는 \( \color{red}{3} \)입니다. 밖으로 빼내면 다음과 같습니다:
\[ = \color{red}{3}(-x + 3) \]괄호 안의 첫 번째 항을 양수로 만들기 위해 $-3$을 밖으로 빼낼 수도 있습니다:
\[ = -3(x - 3) \]문제 2: 다음을 인수분해하세요 \[ 28x + 2x^2 \]
소인수분해를 통해 공통인수를 찾습니다:
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]최대공약수는 \( \color{red}{2x} \)입니다:
\[ = \color{red}{2x}(14 + x) \text{ 또는 } 2x(x + 14) \]문제 3: 다음을 인수분해하세요 \[ 11xy + 55x^2y \]
각 항의 소인수분해를 적습니다:
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]최대공약수는 \( \color{red}{11xy} \)입니다:
\[ = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]문제 4: 다음을 인수분해하세요 \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \]
세 항 모두를 분석하여 GCF를 결정합니다:
\[ 20xy = 2^2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \] \[ 35x^2y = 7 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \] \[ -15xy^2 = -3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]최대공약수는 \( \color{red}{5xy} \)입니다:
\[ = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]문제 5: 다음을 인수분해하세요 \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \]
1. 먼저 공통 다항식 인수 \( (x + 1) \)을 밖으로 빼냅니다:
\[ (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]2. 이제 두 번째 괄호 안의 남은 항들($5y, 10y^2, -15xy$)의 GCF를 찾습니다. GCF는 \( \color{red}{5y} \)입니다:
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5y}(1 + 2y - 3x) \]3. 두 단계를 결합하여 최종 인수분해된 형태를 얻습니다:
\[ = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]