항등식, 풀이된 예제 및 단계별 솔루션
제곱의 차, 완전제곱식, 세제곱의 합과 차와 같은 특수 다항식 형태는 복잡한 대수식을 인수분해하는 지름길을 제공합니다. 이러한 패턴을 인식하는 것은 효율적인 문제 해결에 필수적입니다.
다항식을 인수분해하세요: \[ 16x^2 - 9y^2 \]
항을 제곱 형태로 다시 씁니다: \( 16x^2 = (4x)^2 \) 및 \( 9y^2 = (3y)^2 \).
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)를 적용합니다:
\[ = (4x - 3y)(4x + 3y) \]인수분해하세요: \[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 \]
제곱항들과 가운데 항을 파악합니다: \( (2x)^2 \), \( (5y)^2 \), 및 \( 2(2x)(5y) = 20xy \).
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)를 적용합니다:
\[ = (2x + 5y)^2 \]인수분해하세요: \[ 8 - 27x^3 \]
세제곱 형태로 다시 씁니다: \( 8 = 2^3 \) 및 \( 27x^3 = (3x)^3 \).
\[ 8 - 27x^3 = 2^3 - (3x)^3 \]\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)를 적용합니다:
\[ = (2 - 3x)(2^2 + (2)(3x) + (3x)^2) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]다음 특수 다항식을 완전히 인수분해하세요.
연습 A: \( -25x^2 + 9 \)
제곱의 차 형태로 재배열합니다: \( 9 - 25x^2 \).
\[ 3^2 - (5x)^2 = (3 - 5x)(3 + 5x) \]연습 B: \( 16y^4 - x^4 \)
제곱의 차로 두 번 인수분해합니다:
\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]남은 제곱의 차를 인수분해합니다:
\[ = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]연습 C: \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \)
\( 1/2 \)를 밖으로 빼냅니다:
\[ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) \]완전제곱식을 알아봅니다:
\[ = \frac{1}{2}(x + 1)^2 \]연습 D: \( x^6 - 1 \)
제곱의 차로 다룹니다: \( (x^3)^2 - 1^2 \).
\[ = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]세제곱의 차 및 합 공식을 적용합니다:
\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]